Espace et Volumes

Pour fabriquer un vide-poche, on utilise un bloc de résine ayant la forme d’un pavé droit.

Ce bloc mesure \(12\text{ cm}\) de longueur, \(10\text{ cm}\) de largeur et \(5\text{ cm}\) de hauteur.

On réalise au centre du bloc un creux en forme de demi-boule de diamètre \(8\text{ cm}\).

Question

Calculer le volume de résine nécessaire pour fabriquer ce vide-poche, arrondi au centième de \(\text{cm}^3\).

Une borne décorative est fabriquée en résine.

Sa partie inférieure est un cylindre de rayon \(7\text{ cm}\) et de hauteur \(16\text{ cm}\).

Le cylindre est surmonté d’une demi-boule de même rayon.

Pour alléger la borne, on creuse sous celle-ci une cavité ayant la forme d’un cône de rayon \(3\text{ cm}\) et de hauteur \(8\text{ cm}\).

Questions

1) Calculer le volume de résine réellement utilisé pour fabriquer la borne après avoir creusé la cavité conique. Arrondir à l’unité de \(\text{cm}^3\).

2) La résine utilisée a une masse volumique de \(1{,}2\text{ g/cm}^3\). Calculer la masse de la borne en kilogrammes, arrondie au centième.

Une commune installe dans un parc une sculpture composée d’un socle cylindrique surmonté d’une boule décorative.

Le cylindre a un rayon de \(1{,}5\text{ m}\) et une hauteur de \(4\text{ m}\).

La boule a un diamètre de \(4\text{ m}\).

La boule est fixée au centre de la face supérieure du cylindre. La zone de contact entre les deux solides est suffisamment petite pour être négligée dans les calculs.

Questions

1) Calculer l’aire de la surface de la boule et l’aire latérale du cylindre. Arrondir chaque résultat au centième de \(\text{m}^2\).

2) La base inférieure du cylindre repose sur le sol et n’est pas vernie. La face supérieure du cylindre, sa surface latérale et toute la surface de la boule sont vernies. Calculer l’aire totale à vernir, arrondie au centième de \(\text{m}^2\).

3) Deux couches de vernis sont nécessaires. On prévoit également \(8\%\) de vernis supplémentaire pour tenir compte des pertes lors de l’application. Un pot permet de couvrir \(30\text{ m}^2\). Combien de pots faut-il acheter au minimum ?

Dans un atelier, des blocs cubiques de savon sont transformés pour fabriquer des savons cylindriques.

Chaque bloc de départ est un cube de \(8\text{ cm}\) d’arête.

Dans chaque cube, on taille un cylindre de \(8\text{ cm}\) de hauteur et de \(8\text{ cm}\) de diamètre. Les chutes de savon sont conservées puis refondues.

Questions

1) Calculer le volume du savon cylindrique, puis le volume de savon retiré lors de la découpe d’un bloc. Arrondir les résultats au \(\text{cm}^3\) près.

2) Toutes les chutes de savon sont refondues. Combien de blocs faut-il découper au minimum pour récupérer suffisamment de savon afin de fabriquer un nouveau cube de \(8\text{ cm}\) d’arête ?

Une boîte de billes a la forme d’une pyramide régulière à base carrée.

Le côté de sa base mesure \(30\text{ cm}\) et sa hauteur mesure \(20\text{ cm}\).

Le couvercle est obtenu en coupant la boîte par un plan parallèle à sa base, situé à \(8\text{ cm}\) du sommet de la pyramide.

Questions

1) Calculer le volume total de la boîte.
2) Calculer le volume du couvercle.
3) En déduire le volume du tronc de pyramide dans lequel seront placées les billes.

Un verre a la forme d’un cylindre de \(12\text{ cm}\) de hauteur et de rayon \(5\text{ cm}\).

On pose sur ce verre un entonnoir en forme de cône, pointe vers le bas. L’ouverture de l’entonnoir a un rayon de \(7\text{ cm}\) et sa hauteur est de \(8{,}4\text{ cm}\).

La pointe \(A\) de l’entonnoir se trouve à l’intérieur du verre. On souhaite remplir le verre d’eau sans que l’eau atteigne cette pointe.

Question

Calculer la hauteur maximale d’eau que l’on peut verser dans le verre sans atteindre la pointe \(A\) de l’entonnoir.

Lina récupère l’eau de pluie pour arroser les plantes de son jardin.

Elle utilise une cuve ayant la forme d’un cône de révolution, de rayon \(44\text{ cm}\) et de hauteur \(74\text{ cm}\).

À chaque arrosage, Lina utilise \(5\) arrosoirs contenant chacun \(6\text{ L}\) d’eau. Elle arrose son jardin tous les deux jours.

Questions

1) Calculer la capacité de la cuve en litres, à l’unité près.

2) La cuve est pleine et il ne pleut plus. Combien d’arrosages complets Lina pourra-t-elle effectuer ?

3) Le premier arrosage est effectué le jour où la cuve est remplie. Lina arrose ensuite tous les deux jours. Au bout de combien de jours effectuera-t-elle son dernier arrosage complet ?

Dans son jardin, Inès utilise un composteur ayant la forme d’un tronc de cône.

Le composteur mesure \(120\text{ cm}\) de hauteur et sa base inférieure a un rayon de \(54\text{ cm}\).

Si l’on prolonge ses côtés vers le haut, ils se rejoignent au point \(S\), situé à \(60\text{ cm}\) au-dessus de l’ouverture du composteur.

Questions

1) Le petit cône situé au-dessus du composteur est une réduction du grand cône. Calculer le volume maximal du composteur en \(\text{cm}^3\), puis donner sa capacité en litres à l’unité près.

2) Après quelques semaines, le compost atteint les \(\dfrac23\) de la hauteur du composteur. Calculer le volume de compost présent, en litres à l’unité près.

On considère un pavé droit MNPQRSTU tel que \(MN=7\text{ cm}\), \(MQ=6\text{ cm}\) et \(MR=11\text{ cm}\).

Le point \(I\) appartient à \([MR]\) et vérifie \(MI=6\text{ cm}\). Le point \(K\) appartient à \([ST]\) et vérifie \(TK=4\text{ cm}\).

Un plan passant par \(I\) et \(K\), parallèle à la droite \((MN)\), coupe \([NS]\) en \(J\) et \([RU]\) en \(L\). On obtient ainsi la section \(IJKL\).

Questions

1) Quelle est la nature de la section \(IJKL\) ?

2) Calculer les dimensions de la section \(IJKL\). Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième lorsque cela est nécessaire.

On considère un pavé droit MNPQRSTU tel que \(MN=56\text{ cm}\), \(NP=38\text{ cm}\) et \(NS=30\text{ cm}\).

Le point \(K\) appartient à \([NS]\) tel que \(NK=15\text{ cm}\). Le plan passant par \(M\), \(Q\) et \(K\) coupe l’arête \([PT]\) en \(L\). Ainsi, \(LP = 15\text{ cm}\)

On obtient ainsi la section \(MQLK\).

Questions

1) Quelle est la nature de la section \(MQLK\) ?
2) Calculer l’aire de cette section.
3) Calculer le volume du prisme \(MNKQPL\).

Une capsule de complément alimentaire est constituée d’un cylindre droit de longueur \(12\text{ mm}\), fermé à chacune de ses extrémités par une demi-sphère de rayon \(4\text{ mm}\).

On souhaite déterminer le volume total occupé par cette capsule.

Questions

1) Quelles sont les deux dimensions utiles pour calculer le volume de la partie cylindrique de la capsule ?
2) Calculer le volume total de la capsule, puis donner le résultat arrondi au \(\text{mm}^3\) près.

Le Centre Aquatique Olympique de Saint-Denis possède un grand bassin de compétition.

Pour cet exercice, on modélise ce bassin par un pavé droit de \(50\text{ m}\) de longueur, \(25\text{ m}\) de largeur et \(2\text{ m}\) de profondeur.

Un matin, la hauteur d’eau dans le bassin est de \(1{,}80\text{ m}\).

Questions

1) Calculer l’aire du fond du bassin.
2) Calculer le volume d’eau présent dans le bassin lorsque la hauteur d’eau est de \(1{,}80\text{ m}\). Donner également ce volume en litres.

Pour une étude géométrique, on modélise la pyramide du Louvre par une pyramide régulière à base carrée.

Dans ce modèle, le carré de base a un côté de \(36\text{ m}\) et la hauteur de la pyramide est de \(21\text{ m}\).

Le musée souhaite également réaliser une maquette semblable à la pyramide réelle. Sur cette maquette, le côté de la base mesure \(9\text{ cm}\).

Questions

1) Calculer l’aire de la base carrée de la pyramide.
2) Calculer le volume de la pyramide modélisant la pyramide du Louvre.
3) Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer de la pyramide à sa maquette.
4) Calculer la hauteur de la maquette, puis son volume en \(\text{cm}^3\).

Située dans le parc de la Villette à Paris, La Géode est un bâtiment dont l’enveloppe extérieure a la forme d’une grande sphère.

Pour cet exercice, on assimile La Géode à une boule de diamètre \(36\text{ m}\).

Une maquette de La Géode est ensuite réalisée. Son diamètre est de \(18\text{ cm}\).

Questions

1) Déterminer le rayon de La Géode, puis calculer le volume de la boule qui la modélise. Arrondir le résultat au \(\text{m}^3\) près.
2) Déterminer le coefficient de réduction permettant de passer de La Géode à la maquette.
3) En utilisant le coefficient de réduction, déterminer le volume de la maquette en \(\text{cm}^3\). Arrondir le résultat à l’unité.

À New York, le Rose Center for Earth and Space abrite la Hayden Sphere, une grande sphère installée à l’intérieur d’un vaste volume vitré.

Pour cet exercice, on utilise une modélisation géométrique simplifiée : le bâtiment est assimilé à un cube de côté \(30\text{ m}\) et la Hayden Sphere à une sphère de centre \(O\), placée au centre du cube.

Dans un plan horizontal passant par \(O\), la sphère est située à \(3\text{ m}\) de chacune des quatre faces verticales du cube.

Les dimensions utilisées ici sont fictives et servent uniquement au problème.

Questions

1) On coupe le cube par le plan horizontal passant par \(O\), parallèle à sa base. Quelle est la nature de la section obtenue et quelles sont ses dimensions ?
2) Calculer le diamètre puis le rayon de la sphère.
3) Calculer le volume de la sphère. Arrondir à l’unité.
4) Calculer le volume de l’espace situé à l’intérieur du cube mais à l’extérieur de la sphère. Arrondir à l’unité.
5) Un plan incliné traverse la sphère sans lui être tangent. Quelle est la nature de la section obtenue ?

Pour amortir les chocs contre les autres embarcations ou le quai, les péniches sont équipées de boudins de protection.

Calculer le volume exact en \(\text{cm}^3\) du boudin de protection ci-dessous, puis arrondir au centième :

D’après DNB — Amérique du Nord, 2014.

Le gros globe de cristal est un trophée attribué au vainqueur de la coupe du monde de ski.

Ce trophée pèse \(9\text{ kg}\) et mesure \(46\text{ cm}\) de hauteur.

1) Le biathlète français Martin Fourcade a remporté le sixième gros globe de cristal de sa carrière en 2017 à Pyeongchang en Corée du Sud.
Donner approximativement la latitude et la longitude de ce lieu repéré sur la carte ci-dessous.

2) On considère que ce globe est composé d’un cylindre en cristal de diamètre \(6\text{ cm}\), surmonté d’une boule de cristal. Voir schéma ci-contre. Montrer qu’une valeur approchée du volume de la boule de ce trophée est de \(6\,371\text{ cm}^3\).

3) Marie affirme que le volume de la boule de cristal représente environ \(90\%\) du volume total du trophée.
A-t-elle raison ?

D’après DNB — Métropole, 28 juin 2018.

On considère les trois solides suivants :

Ces trois solides sont placés dans un récipient.

Ce récipient est représenté par le pavé droit \(ABCDIJKL\) de hauteur \(15\text{ cm}\) dont la base est le carré \(ABCD\) de côté \(6\text{ cm}\).

Questions

1) Calculer le volume du cube \(ABCDEFGH\) en \(\text{cm}^3\).
2) Calculer le volume de la pyramide \(SEFGH\) en \(\text{cm}^3\).
3) Calculer le volume de la boule en \(\text{cm}^3\). (On arrondira à l’unité près.)
4) En déduire le volume occupé par les trois solides à l’intérieur du pavé \(ABCDIJKL\) en \(\text{cm}^3\).
5) Pourra-t-on verser dans ce récipient \(20\text{ cL}\) d’eau sans qu’elle ne déborde ?

D’après DNB — Polynésie, septembre 2009.

Un restaurant propose en dessert des coupes de glace composées de trois boules supposées parfaitement sphériques, de diamètre \(4{,}2\text{ cm}\).

Le pot de glace au chocolat ayant la forme d’un parallélépipède rectangle est plein, ainsi que le pot de glace cylindrique à la vanille.

Le restaurateur veut constituer des coupes avec deux boules au chocolat et une boule à la vanille.

Questions

1. a) Montrer que le volume d’un pot de glace au chocolat est \(3\,600\text{ cm}^3\).
b) Calculer la valeur arrondie au \(\text{cm}^3\) du volume d’un pot de glace à la vanille.
2) Calculer la valeur arrondie au \(\text{cm}^3\) du volume d’une boule de glace contenue dans la coupe.
3) Sachant que le restaurateur doit faire \(100\) coupes de glace, combien doit-il acheter de pots au chocolat et de pots à la vanille ?

D’après DNB — Nouvelle-Calédonie, mars 2011.

Lola fabrique des cônes en papier qui lui serviront de barquettes pour pouvoir vendre des frites.

Dans le fond de chaque cône, elle versera soit de la mayonnaise, soit de la sauce tomate.

Elle décide de fabriquer \(400\) cônes en papier et elle doit estimer le nombre de bouteilles de mayonnaise et de sauce tomate qu’elle doit prévoir.

\(80\%\) des acheteurs prennent de la sauce tomate, tous les autres prennent de la mayonnaise.

La bouteille de mayonnaise est assimilée à un cylindre de révolution dont le diamètre de base est \(5\text{ cm}\) et la hauteur \(15\text{ cm}\).
La bouteille de sauce tomate a une capacité de \(500\text{ mL}\).

Questions

1) Montrer que le rayon \([EF]\) du cône de sauce mesure \(1{,}5\text{ cm}\).
2) Montrer que le volume de sauce pour un cône de frites est d’environ \(11{,}78\text{ cm}^3\).
3) Déterminer le nombre de bouteilles de chaque sauce que Lola devra acheter.

D’après DNB — Grèce, juin 2019.