Théorème de Thalès
Exercices
Exercices directement conformes aux attendus du programme. Théorème de Thalès, réciproque du théorème de Thalès, calculs de longueurs, démonstrations et justifications rédigées pas à pas.
Challenge
Exercices de niveau supérieur. Idéal pour les élèves qui souhaitent intégrer les établissements les plus exigeants, se distinguer en classe et prendre une longueur d'avance.
Problèmes
Exercices inspirés des sujets du Brevet des collèges. Situations concrètes, calculs de distances inaccessibles, choix de la bonne méthode et justification rigoureuse.
1) Cas 1 - Calculer une longueur
2) Cas 2 - Calculer une longueur (papillon)
3) Réciproque du théorème de Thalès : Montrer que 2 droites sont parallèles
Trouver la valeur de \(x\) dans chacune des égalités suivantes.
\[ \dfrac{3}{5} = \dfrac{x}{20} \]
\[ \dfrac{x}{18} = \dfrac{5}{6} \]
\[ \dfrac{12}{x} = \dfrac{4}{7} \]
\[ \dfrac{9}{4} = \dfrac{x}{8} \]
\[ \dfrac{x}{21} = \dfrac{2}{3} \]
\[ \dfrac{15}{x} = \dfrac{3}{8} \]
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Dans le triangle \(ABC\), les points \(M\) et \(N\) appartiennent respectivement aux côtés \([AB]\) et \([AC]\).
On sait que :
\[ (MN)\parallel(BC) \]
\[ AM=4 \quad ; \quad MB=6 \]
\[ AN=5 \quad ; \quad NC=7{,}5 \]
Quelle égalité correspond correctement au théorème de Thalès ?
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On sait que :
\[ (AB)\parallel(CD) \]
Les droites \((AD)\) et \((BC)\) se coupent en \(O\).
Quelle égalité correspond correctement au théorème de Thalès ?
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Dans le triangle \(DEF\), les points \(G\) et \(H\) appartiennent respectivement aux côtés \([DE]\) et \([DF]\).
On sait que :
\[ (GH)\parallel(EF) \]
\[ DE=10\text{ cm} \quad ; \quad DG=6\text{ cm} \]
\[ EF=4\text{ cm} \quad ; \quad DH=7{,}2\text{ cm} \]
1) Écrire les égalités de rapports relatives au théorème de Thalès.
2) Calculer la longueur \(GH\).
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À l’aide de la figure suivante, où les droites \((IJ)\) et \((KL)\) sont parallèles, et où les droites \((IL)\) et \((JK)\) sont sécantes en \(O\), calculer les longueurs \(OI\) et \(IJ\).
\[
OJ=2{,}4\text{ m}
\quad ; \quad
OK=9\text{ m}
\]
\[
OL=15\text{ m}
\quad ; \quad
KL=12\text{ m}
\]
1) Écrire les égalités de rapports relatives au théorème de Thalès.
2) Calculer la longueur \(OI\).
3) Calculer la longueur \(IJ\).
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Les droites \((IV)\) et \((IM)\) sont sécantes en \(I\).
\[ IH=5{,}9\text{ m} \quad ; \quad HM=2{,}5\text{ m} \] \[ FH=1{,}55\text{ m} \]
1) Calculer la longueur \(VM\).
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Les droites \((AS)\) et \((BR)\) sont sécantes en \(T\).
\[ AT=4{,}8\text{ cm} \quad ; \quad TS=6{,}4\text{ cm} \] \[ TR=3\text{ cm} \quad ; \quad RS=5{,}6\text{ cm} \]
1) Calculer une valeur approchée, au millimètre près, des longueurs \(AB\) et \(BT\).
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Les points \(R\), \(S\) et \(T\) sont alignés.
Les points \(R\), \(U\) et \(V\) sont alignés.
\[ ST=6\text{ cm} \quad ; \quad RT=14\text{ cm} \] \[ UV=9\text{ cm} \quad ; \quad RV=21\text{ cm} \quad \] \[ \quad VT=10{,}5\text{ cm} \]
1) Les droites \((SU)\) et \((TV)\) sont-elles parallèles ?
2) Calculer la longueur \(US\).
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Dans la figure ci-contre, les droites \((PM)\) et \((QN)\)
se coupent en \(B\).
\[ BM=4\text{ cm} \quad ; \quad BP=7\text{ cm} \] \[ BN=6\text{ cm} \quad ; \quad BQ=10{,}5\text{ cm} \]
1) Les droites \((MN)\) et \((PQ)\) sont-elles parallèles ?
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Sur la figure ci-contre, les droites \((AD)\) et \((CB)\)
sont sécantes en \(E\).
\[ CE=1{,}5\text{ cm} \quad ; \quad DE=1{,}2\text{ cm} \] \[ EA=2{,}6\text{ cm} \quad ; \quad EB=3{,}25\text{ cm} \]
1) Montrer que les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.
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On considère la figure ci-contre, dans laquelle les droites \((AM)\) et \((BN)\)
se coupent en \(O\).
On sait que :
\[ OA=12\text{ cm} \quad ; \quad OM=x\text{ cm} \] \[ OB=x+5\text{ cm} \quad ; \quad ON=3\text{ cm} \]
1) Les droites \((AB)\) et \((MN)\) sont-elles parallèles pour \(x=4\) ?
2) Les droites \((AB)\) et \((MN)\) sont-elles parallèles pour \(x=3\) ?
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Dans la figure ci-contre, les droites \((BD)\), \((FG)\) et \((IJ)\)
sont parallèles.
Les points \(B\), \(A\), \(F\) et \(I\) sont alignés.
Les points \(D\), \(A\), \(G\) et \(J\) sont alignés.
\[ AD=4{,}2\text{ cm} \quad ; \quad AG=2{,}4\text{ cm} \] \[ FG=2\text{ cm} \quad ; \quad AF=3\text{ cm} \] \[ FI=2{,}5\text{ cm} \]
1) Calculer la longueur \(BD\).
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Sur la figure ci-contre, on sait que les droites \((JM)\) et \((NP)\) sont parallèles.
De plus, les points \(E\), \(H\), \(M\), \(P\) d’une part et les points \(B\), \(H\), \(J\), \(N\) d’autre part sont alignés dans cet ordre.
On a les longueurs suivantes :
\[ HN=7\text{ cm} \quad ; \quad HP=8{,}4\text{ cm} \] \[ HJ=5\text{ cm} \quad ; \quad HB=2{,}5\text{ cm} \] \[ HE=3\text{ cm} \]
1) Calculer la longueur \(HM\).
2) Les droites \((BE)\) et \((NP)\) sont-elles parallèles ?
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Un artisan fabrique un support mural ayant la forme du triangle \(KLM\).
Il fixe une traverse \([NP]\), avec le point \(N\) appartenant au segment \([KL]\) et le point \(P\) appartenant au segment \([KM]\).
Les droites \((NP)\) et \((LM)\) sont parallèles.
On connaît les informations suivantes :
\[ KP=4{,}5\text{ cm} \] \[ KL=8\text{ cm} \] \[ KN=KM \]
1) Calculer la longueur \(KN\).
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Noémie réalise une étagère décorative ayant la forme du triangle \(RST\).
Elle place une traverse \([UV]\), avec le point \(U\) appartenant au segment \([RS]\) et le point \(V\) appartenant au segment \([RT]\).
Elle souhaite que la traverse soit parallèle à la base \([ST]\).
Cependant, après avoir pris ses mesures, elle constate que les droites \((UV)\) et \((ST)\) ne sont pas parallèles.
On connaît les longueurs suivantes :
\[ RS=15\text{ cm} \quad ; \quad RU=6\text{ cm} \] \[ RT=20\text{ cm} \quad ; \quad RV=9\text{ cm} \]
Le schéma n’est pas à l’échelle.
1) De combien de centimètres Noémie doit-elle déplacer le point \(V\) vers le point \(R\) pour que les droites \((UV)\) et \((ST)\) soient parallèles ?
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Pour installer une tyrolienne dans un parc, Eren tend un câble entre un point \(A\), situé au sol, et un point \(P\), situé sur une tour. Le câble doit passer exactement \(10\) cm au-dessus d’une palissade de \(2\) m de hauteur.
Le point \(B\) représente le pied de la palissade et le point \(C\) le pied de la tour.
Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Les points \(A\), \(M\) et \(P\) sont également alignés.
On connaît les longueurs suivantes :
Le schéma n’est pas à l’échelle.
1) À quelle hauteur \(h\) Eren doit-il fixer le câble sur la tour pour qu’il passe exactement \(10\) cm au-dessus de la palissade ?
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Maya place un robot d’inspection au point \(M\). Le robot doit rejoindre une borne de recharge située au point \(F\).
Il se déplace en ligne droite et sa trajectoire coupe le côté \([CB]\) au point \(T\).
Les points \(M\), \(T\) et \(F\) sont alignés.
Les points \(C\), \(T\) et \(B\) sont également alignés.
On connaît les longueurs suivantes :
Le schéma n’est pas à l’échelle.
1) Quelle distance le robot doit-il parcourir pour rejoindre la borne de recharge ? Donner le résultat arrondi au décimètre.
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Dans une réserve forestière, Aline, une technicienne, doit rejoindre une station météo afin de remplacer une batterie.
À \(16\text{ h }20\), elle quitte une plateforme d’observation située au point \(A\). Elle suit une passerelle en bois qui passe successivement par les points \(B\), \(C\) et \(D\), à la vitesse constante de \(4{,}2\) km/h.
À \(16\text{ h }25\), un sanglier situé près d’un point d’eau au point \(E\) se dirige en ligne droite vers la plateforme \(A\), à la vitesse constante de \(6\) km/h. La trajectoire du sanglier coupe la passerelle au point \(C\).
On connaît les longueurs suivantes :
Le schéma n’est pas à l’échelle.
1) Aline et le sanglier arriveront-ils au point \(C\) au même instant ? Justifier la réponse.
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Pour régler les feux de croisement d’une automobile, on la place face à un mur vertical. Le phare, identifié au point \(P\), émet un faisceau lumineux dirigé vers le sol.
On relève les mesures suivantes :
Sur le schéma ci-dessous, qui n’est pas à l’échelle, le point \(S\) représente l’endroit où le rayon supérieur du faisceau rencontrerait le sol en l’absence du mur.
On considère que les feux de croisement sont bien réglés si le rapport
\[ \dfrac{QK}{QP} \]
est compris entre \(0{,}015\) et \(0{,}02\).
Les schémas ne sont pas à l’échelle.
1) Vérifier que les feux de la voiture sont bien réglés.
2) À quelle distance maximale de la voiture un obstacle se trouvant sur la route est-il éclairé par les feux de croisement ?
D’après DNB sujet zéro, 2018.
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Dans chacun des cas suivants, calculer la longueur \(x\).
Les figures ne sont pas à l’échelle.
Les droites \((EG)\) et \((CD)\) sont parallèles.
Les droites \((UV)\) et \((PQ)\) sont parallèles.
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Sur la figure ci-après, qui n’est pas à l’échelle, on a représenté le trajet de la course que doit faire Oscar.
Dans le triangle \(DLA\) rectangle en \(L\), le point \(J\) appartient au segment \([DA]\) et le point \(K\) appartient au segment \([DL]\).
On donne :
\[ DL=600\text{ m} \]
\[ KJ=200\text{ m} \]
\[ DJ=520\text{ m} \]
\[ KL=120\text{ m} \]
La figure n’est pas à l’échelle.
1)
Montrer que la longueur \(DK\) est égale à \(480\text{ m}\).
2)
Montrer que le triangle \(DKJ\) est rectangle en \(K\).
3)
Justifier que les droites \((KJ)\) et \((LA)\) sont parallèles.
4)
Montrer que le segment \([DA]\) mesure \(650\text{ m}\).
5)
Calculer la longueur du trajet \(DKJA\), fléché sur la figure.
D’après DNB Martinique, 3 juillet 2024.
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Une famille se promène au bord d’une rivière. Les enfants aimeraient connaître la largeur de la rivière.
Ils prennent des repères, comptent leurs pas et dessinent le schéma ci-dessous sur lequel les points \(C\), \(E\) et \(D\), de même que les points \(A\), \(E\) et \(B\), sont alignés.
Les points \(A\), \(E\) et \(B\) sont alignés.
Les points \(C\), \(E\) et \(D\) sont alignés.
On donne :
\[ AE=20\text{ pas} \]
\[ BE=5\text{ pas} \]
\[ BD=1\text{ pas} \]
Le schéma n’est pas à l’échelle.
1)
Démontrer que les droites \((AC)\) et \((BD)\) sont parallèles.
2)
Déterminer, en nombre de pas, la largeur \(AC\) de la rivière.
Pour les questions suivantes, on assimile la longueur d’un pas à \(65\text{ cm}\).
3)
Montrer que la longueur \(CE\) vaut \(13{,}3\text{ m}\),
en arrondissant au décimètre près.
4)
a.
L’un des enfants lâche un bâton dans la rivière au niveau du point \(E\).
Avec le courant, le bâton se déplace en ligne droite en \(5\) secondes
jusqu’au point \(C\). Calculer la vitesse du bâton en
\(\text{m/s}\).
b.
Est-il vrai que le bâton se déplace à une vitesse moyenne
inférieure à \(10\text{ km/h}\) ?
D’après DNB Métropole–Antilles-Guyane, 30 juin 2022.
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Une équipe de maintenance souhaite vérifier la hauteur du phare de Keravel sans avoir à monter jusqu’à son sommet.
Au même instant, un technicien place une mire verticale à proximité du phare et mesure les ombres projetées sur le sol.
La mire est représentée par le segment \([MN]\) et le phare par le segment \([HS]\).
Les points \(O\), \(M\) et \(H\) sont alignés.
Les points \(O\), \(N\) et \(S\) sont alignés.
La mire et le phare sont tous les deux perpendiculaires au sol.
On donne :
\[ OM=1{,}10\text{ m} \]
\[ OH=82\text{ m} \]
\[ MN=2\text{ m} \]
Le schéma n’est pas à l’échelle.
1)
Calculer la hauteur \(HS\) du phare.
Arrondir le résultat au dixième de mètre près.
2)
Le plan technique du phare indique une hauteur de
\(150\text{ m}\). L’équipe considère son estimation comme
satisfaisante si l’écart avec cette valeur est inférieur
à \(1\text{ m}\).
L’estimation obtenue est-elle satisfaisante ?
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Un funiculaire relie une station basse à un belvédère situé en hauteur.
Le funiculaire part de la station basse et rejoint la station supérieure \(S\). La ligne du funiculaire mesure \(1\,437\text{ m}\).
La station supérieure se trouve à \(584\text{ m}\) d'altitude.
Le schéma n’est pas à l’échelle.
Question : Après avoir parcouru 450 m en montant depuis la station basse, la cabine marque un arrêt. On souhaite déterminer à quelle hauteur elle se trouve par rapport au niveau de la station basse.
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Pour faire voler son cerf-volant, Thomas décide d’accrocher sa ficelle au sol.
Le point \(T\) représente le point d’accroche de la ficelle et le point \(C\) représente le cerf-volant.
La longueur du fil \([TC]\) est égale à \(15\text{ m}\). La distance \(TH\) est égale à \(20\) pas et un pas de Thomas mesure \(0{,}6\text{ m}\).
Les points \(T\), \(C\) et \(E\) sont alignés. Les points \(T\), \(H\) et \(F\) sont également alignés.
La figure n’est pas à l’échelle.
1)
Calculer la longueur \(TH\), en mètres.
2)
Calculer la longueur \(CH\), en mètres.
3)
Thomas souhaite dérouler davantage de ficelle afin que
le cerf-volant atteigne l’altitude du point \(E\),
de sorte que \(EF=13{,}5\text{ m}\).
Calculer la longueur \(TE\).
D’après DNB Nouvelle-Calédonie, décembre 2019.
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Un décorateur a dessiné une vue de côté d’un meuble de rangement composé d’une structure métallique et de plateaux en bois d’épaisseur \(2\text{ cm}\), illustré par la figure 1.
Les étages de la structure métallique de ce meuble sont tous identiques. La figure 2 représente l’un de ces étages.
On donne :
\[ OC=48\text{ cm} \]
\[ OD=64\text{ cm} \]
\[ OB=27\text{ cm} \]
\[ OA=36\text{ cm} \]
\[ CD=80\text{ cm} \]
Les droites \((AC)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires.
Les figures ne sont pas à l’échelle.
1)
Démontrer que les droites \((AB)\) et \((CD)\)
sont parallèles.
2)
Montrer par le calcul que \(AB=45\text{ cm}\).
3)
Calculer la hauteur totale du meuble de rangement.
D’après DNB Centres étrangers, juin 2019.
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Un centre de loisirs dispose d’un bâtiment et d’un espace extérieur pour accueillir des enfants.
L’espace extérieur, modélisé par un triangle, est partagé en deux parties : un potager représenté par le quadrilatère \(DEFG\) et une zone de jeux représentée par le triangle \(EFC\).
On donne :
• les points \(C\), \(E\) et \(D\) sont alignés ;
• les points \(C\), \(F\) et \(G\) sont alignés ;
• les droites \((EF)\) et \((DG)\) sont parallèles ;
• les droites \((DG)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires.
\[ CE=30\text{ m} \]
\[ ED=10\text{ m} \]
\[ DG=24\text{ m} \]
La figure n’est pas à l’échelle.
1)
Déterminer la longueur \(CD\).
2)
Calculer la longueur \(CG\).
Arrondir le résultat au dixième de mètre près.
3)
L’équipe souhaite séparer la zone de jeux et le potager
par une clôture représentée par le segment \([EF]\).
Montrer que cette clôture doit mesurer \(18\text{ m}\).
4)
Pour semer du gazon sur la zone de jeux, l’équipe décide
d’acheter des sacs de \(5\text{ kg}\) de graines à
\(22{,}90\) € l’unité. Chaque sac permet de couvrir une
surface d’environ \(140\text{ m}^2\).
Quel budget doit-on prévoir pour semer du gazon sur
la totalité de la zone de jeux ?
5)
La direction du centre affirme que la surface du potager
est plus grande que celle de la zone de jeux.
A-t-elle raison ?
D’après DNB Asie, 19 juin 2023.
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Le conducteur d’une navette effectue une marche arrière. En regardant derrière lui, il aperçoit le sol à \(7\text{ m}\) de l’arrière du véhicule.
La zone grisée du schéma représente la partie située derrière la navette que le conducteur ne peut pas voir.
On donne :
• les points \(P\), \(Q\) et \(R\) sont alignés ;
• les points \(M\), \(N\) et \(R\) sont alignés ;
• les droites \((PM)\) et \((QN)\) sont parallèles ;
• les droites \((PM)\) et \((MR)\) sont perpendiculaires.
\[ PM=1{,}75\text{ m} \]
\[ QN=1{,}05\text{ m} \]
\[ MR=7\text{ m} \]
La figure n’est pas à l’échelle.
1)
Calculer la longueur \(NR\).
2)
En déduire la longueur \(MN\).
3)
Un enfant mesurant \(1{,}05\text{ m}\) se trouve à
\(1{,}80\text{ m}\) derrière la navette.
Le conducteur peut-il le voir ?
Justifier la réponse.
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Une entreprise rénove une verrière triangulaire située dans un jardin botanique. La verrière est représentée par le triangle \(BKL\). Pour renforcer la structure, un technicien doit installer une traverse métallique représentée par le segment \([MN]\).
D’après le plan de montage, cette traverse doit être parallèle au bord inférieur \([KL]\).
On donne :
• les points \(B\), \(M\) et \(K\) sont alignés ;
• les points \(B\), \(N\) et \(L\) sont alignés ;
• \(BK=5{,}60\text{ m}\) ;
• \(BM=4{,}90\text{ m}\) ;
• \(KL=4\text{ m}\).
La figure n’est pas à l’échelle.
1)
On suppose, dans cette question, que la traverse
\([MN]\) est parallèle au bord \([KL]\).
a)
Calculer la longueur \(MN\).
b)
Pour éviter les frottements contre la vitre, un joint
de protection doit être placé des deux côtés de la traverse.
La longueur totale de joint nécessaire est donc égale au
double de la longueur \(MN\).
L’entreprise dispose d’un rouleau de
\(6{,}80\text{ m}\) de joint.
Ce rouleau sera-t-il suffisamment long ?
2)
Après l’installation, le technicien mesure
\[
BN=4{,}40\text{ m}
\qquad\text{et}\qquad
BL=4{,}80\text{ m}.
\]
La traverse \([MN]\) est-elle réellement parallèle
au bord \([KL]\) ?
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Autrefois, dans les cases*, les anciens avaient installé au-dessus du feu un fumoir qui leur permettait de conserver le fruit de leur pêche plus longtemps.
Willy et Anna font de l’accueil de touristes. Ils souhaitent utiliser l’ancien fumoir afin de ranger les bagages de leurs visiteurs.
Ils veulent ajouter un panneau au-dessus pour protéger les affaires. Ils cherchent donc à déterminer la longueur de ce panneau.
*Une case est un habitat traditionnel de Nouvelle-Calédonie.
La figure n’est pas à l’échelle.
1)
Quelle est la longueur du segment \([OD]\) ?
2)
En utilisant la relation
\(
HI=HD-IO-OD,
\)
vérifier que \(HI=2{,}4\text{ m}\).
3)
Justifier que les droites \((OJ)\) et \((IF)\)
sont parallèles.
4)
Quelle est la longueur du panneau qui devra être ajouté ?
D’après DNB Nouvelle-Calédonie, série professionnelle, 2014.
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