Cosinus Sinus Tangente
Exercices, challenges et problèmes corrigés pour maîtriser le cosinus, le sinus et la tangente dans un triangle rectangle, calculer une longueur et déterminer la mesure d’un angle.
Exercices
Exercices directement conformes aux attendus du programme. Calculer une longueur ou déterminer la mesure d’un angle.
Challenges
Configurations plus techniques avec plusieurs étapes de raisonnement avec le théorème de Pythagore.
Problèmes
Problèmes contextualisés inspirés des sujets du brevet des collèges pour calculer des longueurs ou des angles.
Les exercices et challenges sont rangés par ordre de difficulté.
1) Trigonométrie - Calculer un angle
2) Trigonométrie - Calculer la longueur d'un côté
On considère les trois triangles rectangles suivants.
Cas 1
Cas 2
Cas 3
Question
Pour chacun des trois triangles, indiquer :
• l’hypoténuse ;
• le côté adjacent à l’angle indiqué ;
• le côté opposé à l’angle indiqué.
Bilan des réponses
Cas 1 : hypoténuse : \([AC]\) — adjacent : \([AB]\) — opposé : \([BC]\) .
Cas 2 : hypoténuse : \([DF]\) — adjacent : \([EF]\) — opposé : \([DE]\) .
Cas 3 : hypoténuse : \([GI]\) — adjacent : \([HI]\) — opposé : \([GH]\) .
1) Pour chacun des trois triangles, indiquer l’hypoténuse, le côté adjacent à l’angle indiqué et le côté opposé à l’angle indiqué.
Cas 1 — angle de \(33^\circ\)
L’angle droit est en \(B\). Le côté situé en face de cet angle droit est \([AC]\).
L’hypoténuse est donc \([AC]\).
Par rapport à l’angle de \(\textcolor{gold}{33^\circ}\), le côté opposé est \([BC]\).
Le côté \([AB]\) touche l’angle de \(\textcolor{gold}{33^\circ}\) et n’est pas l’hypoténuse : c’est donc le côté adjacent.
Cas 2 — angle de \(32^\circ\)
L’angle droit est en \(E\). Le côté situé en face est \([DF]\).
L’hypoténuse est donc \([DF]\).
Par rapport à l’angle de \(\textcolor{gold}{32^\circ}\), le côté opposé est \([DE]\).
Le côté \([EF]\) touche l’angle de \(\textcolor{gold}{32^\circ}\) sans être l’hypoténuse : c’est le côté adjacent.
Cas 3 — angle de \(56^\circ\)
L’angle droit est en \(H\). Le côté situé en face de l’angle droit est \([GI]\).
L’hypoténuse est donc \([GI]\).
Par rapport à l’angle de \(\textcolor{gold}{56^\circ}\), le côté opposé est \([GH]\).
Le côté \([HI]\) touche l’angle de \(\textcolor{gold}{56^\circ}\) et n’est pas l’hypoténuse : c’est donc le côté adjacent.
Pour chacun des deux triangles rectangles suivants, on cherche à déterminer l’angle indiqué par ?.
On ne calculera pas encore la valeur de l’angle : on écrira seulement la relation trigonométrique adaptée avec les longueurs données.
Cas 1
Cas 2
Questions
1)
Cas 1 :
écrire la formule du cosinus permettant de déterminer
l’angle \(\widehat{BAC}\), puis remplacer les longueurs
par les valeurs données sur la figure.
2)
Cas 2 :
écrire la formule trigonométrique permettant de déterminer
l’angle \(\widehat{DFE}\), puis remplacer les longueurs
par les valeurs données sur la figure.
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On considère le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\). On sait que \(AB=6{,}2\ \text{cm}\) et \(AC=9{,}5\ \text{cm}\).
Question
1)
Calculer la mesure de l’angle
\(\widehat{ACB}\).
Donner le résultat au degré près.
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On considère le triangle \(MNP\) rectangle en \(N\). On sait que \(PN=5{,}8\ \text{cm}\) et \(PM=11\ \text{cm}\).
Question
1)
Calculer la mesure du plus grand angle aigu
\(\widehat{MPN}\).
Donner le résultat au degré près.
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On considère le triangle \(JKL\) rectangle en \(K\). On sait que \(\widehat{KJL}=34^\circ\) et \(KL=5{,}6\ \text{cm}\).
Question
1)
Calculer la longueur \(JK\).
Donner le résultat au dixième de centimètre près.
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On considère le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\). On sait que \(\widehat{ABC}=62^\circ\) et \(AB=4{,}8\ \text{cm}\).
Question
1)
Calculer la longueur \(BC\).
Donner le résultat au dixième de centimètre près.
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On considère le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\). Le point \(D\) appartient au segment \([BC]\) et \((AD)\) est perpendiculaire à \((BC)\). On sait que \(AD=6{,}4\ \text{cm}\) et \(BD=4{,}8\ \text{cm}\).
Questions
1)
Calculer la mesure de l’angle
\(\widehat{BAD}\).
Donner le résultat au degré près.
2)
En déduire la mesure de tous les autres angles
des triangles de la figure.
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Les points \(E\), \(H\), \(G\) et \(I\) sont alignés dans cet ordre. La droite \((FH)\) est perpendiculaire à la droite \((EI)\). On sait que \(EF=11{,}5\ \text{cm}\), \(HG=7{,}2\ \text{cm}\) et \(\widehat{FGH}=50^\circ\).
Question
1)
Calculer la longueur \(FH\).
Donner le résultat au dixième de centimètre près.
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On considère le triangle \(ABC\). Le point \(D\) appartient au segment \([BC]\) et \((AD)\perp(BC)\).
Questions
1)
Calculer la longueur \(AC\).
Donner le résultat au dixième de centimètre près.
2)
Calculer la mesure de l’angle
\(\widehat{BAD}\).
Donner le résultat au degré près.
3)
En déduire la mesure de l’angle
\(\widehat{ABD}\).
4)
Calculer la mesure de l’angle
\(\widehat{CAD}\),
puis en déduire celle de l’angle
\(\widehat{BAC}\).
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\(EFGH\) est un rectangle. La diagonale \([EG]\) est tracée.
Questions
1)
Calculer les longueurs \(EF\) et \(FG\).
Donner les résultats au dixième de centimètre près.
2)
En déduire le périmètre du rectangle \(EFGH\),
au dixième de centimètre près.
3)
Calculer l’aire du rectangle \(EFGH\),
au dixième de \(\text{cm}^2\) près.
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Les points \(B\), \(D\), \(E\) et \(C\) sont alignés dans cet ordre. La droite \((AD)\) est perpendiculaire à \((BC)\).
Questions
1)
Calculer la longueur \(AD\).
Donner le résultat au dixième de centimètre près.
2)
Calculer la mesure de l’angle
\(\widehat{AED}\).
Donner le résultat au degré près.
3)
Calculer la longueur \(DC\),
puis la mesure de l’angle
\(\widehat{ACD}\).
Donner l’angle au degré près.
4)
Calculer la longueur \(AC\).
Donner le résultat au dixième de centimètre près.
5)
En déduire la mesure de l’angle
\(\widehat{EAC}\).
Bilan des réponses
1) La longueur \(AD\) mesure environ \(5{,}7\text{ cm}\).
2) L’angle \(\widehat{AED}\) mesure environ \(54^\circ\).
3) La longueur \(DC\) mesure \(9{,}2\text{ cm}\) et l’angle \(\widehat{ACD}\) mesure environ \(32^\circ\).
4) La longueur \(AC\) mesure environ \(10{,}8\text{ cm}\).
5) L’angle \(\widehat{EAC}\) mesure environ \(22^\circ\).
1) Calculer la longueur \(AD\). Donner le résultat au dixième de centimètre près.
Dans le triangle \(ABD\) rectangle en \(D\), par rapport à l’angle \(\widehat{ABD}\) , \([AD]\) est le côté opposé et \([BD]\) est le côté adjacent .
On utilise donc la tangente :
\(\tan(\widehat{ABD})\) \(=\) \(\dfrac{ \textcolor{violet}{AD} }{ \textcolor{limegreen}{BD} }\)
\(\tan(34^\circ)\) \(=\) \(\dfrac{ \textcolor{violet}{AD} }{ \textcolor{limegreen}{8,5} }\)
\(\dfrac{ \textcolor{gold}{\tan(34^\circ)} }{ 1 } = \dfrac{ \textcolor{violet}{AD} }{ \textcolor{limegreen}{8,5} }\)
\(\textcolor{violet}{AD} = \textcolor{limegreen}{8,5} \times \textcolor{gold}{\tan(34^\circ)}\)
\(AD\approx5{,}7\ \text{cm}\)
2) Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{AED}\). Donner le résultat au degré près.
Dans le triangle \(ADE\) rectangle en \(D\), par rapport à l’angle \(\widehat{AED}\) , \([AD]\) est le côté opposé et \([DE]\) est le côté adjacent .
\(\tan(\widehat{AED})\) \(=\) \(\dfrac{ \textcolor{violet}{AD} }{ \textcolor{limegreen}{DE} }\)
\(\tan(\widehat{AED})\) \(=\) \(\dfrac{ \textcolor{violet}{5,7} }{ \textcolor{limegreen}{4,2} }\)
\(\widehat{AED}\) \(= \arctan \left( \dfrac{ \textcolor{violet}{5,7} }{ \textcolor{limegreen}{4,2} } \right)\)
\(\widehat{AED}\approx53{,}6^\circ\)
Au degré près, \(\widehat{AED}\approx54^\circ\).
3) Calculer la longueur \(DC\), puis la mesure de l’angle \(\widehat{ACD}\).
Les points \(D\), \(E\) et \(C\) sont alignés, donc :
\(\textcolor{limegreen}{DC}=DE+EC\)
\(\textcolor{limegreen}{DC}=4{,}2+5\)
\(DC=9{,}2\ \text{cm}\)
Dans le triangle \(ACD\) rectangle en \(D\), par rapport à l’angle \(\widehat{ACD}\) , \([AD]\) est le côté opposé et \([DC]\) est le côté adjacent .
\(\tan(\widehat{ACD})\) \(=\) \(\dfrac{ \textcolor{violet}{AD} }{ \textcolor{limegreen}{DC} }\)
\(\tan(\widehat{ACD})\) \(=\) \(\dfrac{ \textcolor{violet}{5,7} }{ \textcolor{limegreen}{9,2} }\)
\(\widehat{ACD}\) \(= \arctan \left( \dfrac{ \textcolor{violet}{5,7} }{ \textcolor{limegreen}{9,2} } \right)\)
\(\widehat{ACD}\approx31{,}8^\circ\)
Au degré près, \(\widehat{ACD}\approx32^\circ\).
4) Calculer la longueur \(AC\). Donner le résultat au dixième de centimètre près.
Dans le triangle \(ACD\) rectangle en \(D\), par rapport à l’angle \(\widehat{ACD}\) , \([DC]\) est le côté adjacent et \([AC]\) est l’hypoténuse .
On utilise donc le cosinus :
\(\cos(\widehat{ACD})\) \(=\) \(\dfrac{ \textcolor{limegreen}{DC} }{ \textcolor{deeppink}{AC} }\)
\(\cos(32^\circ)\) \(=\) \(\dfrac{ \textcolor{limegreen}{9,2} }{ \textcolor{deeppink}{AC} }\)
\(\dfrac{ \textcolor{gold}{\cos(32^\circ)} }{ 1 } = \dfrac{ \textcolor{limegreen}{9,2} }{ \textcolor{deeppink}{AC} }\)
\(\textcolor{deeppink}{AC} = \dfrac{ \textcolor{limegreen}{9,2}\times1 }{ \textcolor{gold}{\cos(32^\circ)} }\)
\(AC\approx10{,}8\ \text{cm}\)
5) En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{EAC}\).
\(\widehat{ADE}=90^\circ\) et \(\widehat{AED}=54^\circ\).
\(\widehat{DAE}\) \(= 180^\circ-\textcolor{deeppink}{90^\circ}-\textcolor{#ff914d}{54^\circ}\)
\(\widehat{DAE}=36^\circ\)
\(\widehat{ADC}=90^\circ\) et \(\widehat{ACD}=32^\circ\).
\(\widehat{DAC}\) \(= 180^\circ-\textcolor{deeppink}{90^\circ}-\textcolor{violet}{32^\circ}\)
\(\widehat{DAC}=58^\circ\)
\( \textcolor{gold}{\widehat{EAC}} = \textcolor{gold}{58^\circ} - \textcolor{limegreen}{36^\circ}\)
\(\widehat{EAC}=22^\circ\)
Dans un parc d’aventure, une tyrolienne relie le sommet \(T\) d’une plateforme au point d’arrivée \(C\).
Un portique de sécurité est installé au point \(B\), entre le pied \(P\) de la plateforme et le point d’arrivée \(C\).
Les points \(P\), \(B\) et \(C\) sont alignés sur un sol horizontal.
Question
Déterminer la distance \(BC\)
entre le portique de sécurité
et le point d’arrivée de la tyrolienne.
Donner le résultat au dixième de mètre près.
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Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\). Le point \(D\) appartient au segment \([AC]\).
Question
En utilisant deux triangles rectangles différents
de la figure, exprimer de deux façons différentes :
\(\cos(\widehat{BAC})\),
\(\sin(\widehat{BAC})\)
et
\(\tan(\widehat{BAC})\).
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\(ABCDEFGH\) est un pavé droit. Le segment \([AC]\) est une diagonale de sa base et \([AG]\) est une diagonale du pavé.
Questions
1)
Calculer la longueur \(AG\).
Donner le résultat au dixième de centimètre près.
2)
Calculer la mesure de l’angle
\(\widehat{CAG}\).
Donner le résultat au degré près.
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Les triangles \(ABE\) et \(AED\) sont rectangles, respectivement en \(B\) et en \(E\).
Question
Calculer la mesure de l’angle
\(\widehat{BAD}\).
Arrondir le résultat au degré près.
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\(MNPQ\) est un trapèze tel que \((MN)\parallel(PQ)\). Le point \(T\) appartient à \([MN]\) et \(PT\perp MN\).
Questions
1)
Calculer la longueur \(PT\).
Arrondir au dixième de centimètre près.
2)
En utilisant l’aire du trapèze,
déterminer la longueur \(PQ\).
Donner le résultat au millimètre près.
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\(RSTU\) est un trapèze rectangle de bases \([RU]\) et \([ST]\). Les diagonales \([RT]\) et \([SU]\) se coupent au point \(V\).
Question
Calculer les mesures des trois angles
du triangle \(UVT\).
Donner les résultats au degré près.
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Pour préparer un spectacle, deux projecteurs sont installés au sol aux points \(A\) et \(B\).
Le premier vise le point \(R\), situé en haut d’un grand écran vertical. Le second vise un point \(Q\), situé plus bas sur le même écran.
Les points \(A\), \(B\) et \(P\) sont alignés. Les points \(R\), \(Q\) et \(P\) sont également alignés.
Question
Déterminer la distance \(RQ\)
séparant les deux points visés sur l’écran.
Donner le résultat au dixième de mètre près.
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Lors d’une exposition, un pavillon entièrement cubique est installé sur une grande place.
Un visiteur placé au point \(A\) observe le sommet arrière \(S\) du pavillon.
Question
Déterminer la longueur d’une arête du pavillon.
Donner le résultat au dixième de mètre près.
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Un technicien souhaite déterminer la hauteur d’une éolienne sans pouvoir accéder directement à son pied.
Il utilise un appareil de mesure installé sur un trépied à \(1{,}70\ \text{m}\) du sol. Il effectue deux mesures depuis les positions \(A\) et \(B\), distantes de \(62\ \text{m}\). Le terrain est horizontal.
Question
Déterminer la hauteur \(SC\) de l’éolienne.
Donner le résultat au mètre près.
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Pour effectuer une intervention sur la façade d’un bâtiment, un technicien doit installer une échelle contre un mur vertical.
Avant de commencer son travail, il doit vérifier que la position de l’échelle respecte la consigne de sécurité donnée ci-dessous.
La figure n’est pas à l’échelle.
L’échelle mesure \(3{,}0\ \text{m}\).
Le pied de l’échelle est situé à \(1{,}20\ \text{m}\) du mur.
Pour être considérée comme correctement installée, l’échelle doit former avec le sol un angle supérieur ou égal à \(67^\circ\).
1)
Calculer la mesure de l’angle
\(\widehat{ABS}\)
formé par l’échelle et le sol.
Donner le résultat au dixième de degré près.
2)
L’installation de l’échelle respecte-t-elle
la consigne de sécurité ?
Justifier la réponse.
Bilan des réponses
L’angle \(\widehat{ABS}\) mesure environ \(66{,}4^\circ\).
Comme \(66{,}4^\circ\) est inférieur à \(67^\circ\), la consigne de sécurité n’est pas respectée.
1) Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{ABS}\) formé par l’échelle et le sol
Dans le triangle \(ABS\) rectangle en \(A\) :
\(\cos\left( \textcolor{limegreen}{\widehat{ABS}} \right) = \dfrac{ \textcolor{#ff914d}{AB} }{ \textcolor{#f2f2f2}{BS} }\)
\(\cos\left( \textcolor{limegreen}{\widehat{ABS}} \right) = \dfrac{ \textcolor{#ff914d}{1{,}20} }{ \textcolor{#f2f2f2}{3{,}0} }\)
\(\cos\left( \textcolor{limegreen}{\widehat{ABS}} \right) = 0{,}4\)
\(\textcolor{limegreen}{\widehat{ABS}} = \arccos(0{,}4)\)
\(\widehat{ABS}\approx66{,}4^\circ\)
2) L’installation de l’échelle respecte-t-elle la consigne de sécurité ?
\(\textcolor{limegreen}{66{,}4^\circ} < \textcolor{gold}{67^\circ}\)
L’angle formé par l’échelle avec le sol
est inférieur à l’angle minimal imposé.
L’installation ne respecte donc pas
la consigne de sécurité.
À Toronto, un géomètre souhaite estimer la hauteur de la CN Tower.
Il place un appareil de mesure dont l’objectif se trouve à \(1{,}60\ \text{m}\) au-dessus du sol. L’appareil est situé à \(300\ \text{m}\) de la verticale passant par le sommet de la tour.
La ligne de visée vers le sommet forme avec l’horizontale un angle de \(61{,}46^\circ\).
Question
Estimer la hauteur de la CN Tower.
Donner le résultat au mètre près.
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Une entreprise souhaite installer un panneau solaire sur le toit-terrasse d’un bâtiment.
Pour obtenir une bonne exposition au soleil, le panneau doit former un angle de \(35^\circ\) avec l’horizontale.
La figure n’est pas à l’échelle.
Le panneau mesure \(2{,}40\ \text{m}\) de longueur.
Son inclinaison par rapport au toit est de \(35^\circ\).
L’installation doit respecter deux contraintes :
• elle ne doit pas occuper plus de
\(2{,}00\ \text{m}\)
horizontalement ;
• son point le plus haut ne doit pas dépasser
\(1{,}40\ \text{m}\)
au-dessus du toit.
1)
Calculer la longueur \(AC\), au centimètre près.
2)
Calculer la hauteur \(BC\), au centimètre près.
3)
L’installation respecte-t-elle les deux contraintes ?
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Lors d’une partie de billard, Lina souhaite faire entrer sa boule rouge dans le trou \(N\) après un rebond sur la bande supérieure.
Le point \(R\) désigne le point où la boule touche la bande.
La figure n’est pas à l’échelle.
Le billard est rectangulaire.
Sa longueur est de \(2{,}40\ \text{m}\) et sa largeur de \(1{,}20\ \text{m}\).
Le trou \(M\) est situé exactement au milieu de la bande supérieure.
Le point \(C\) est situé directement au-dessus du trou \(N\).
Après le rebond en \(R\) , la trajectoire forme avec la bande supérieure un angle de \(37^\circ\).
À quelle distance du trou central \(M\) le point de rebond \(R\) doit-il être situé pour que la boule atteigne le trou \(N\) ? Donner le résultat au centimètre près.
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Une tour panoramique moderne a été construite au centre d’une grande esplanade. Les points \(A\) et \(B\) représentent les deux extrémités de sa base au niveau du sol.
Le sommet \(H\) de la tour est situé à la verticale du milieu du segment \([AB]\). La hauteur totale de la tour est de \(324\ \text{m}\) et la largeur de sa base est \(AB=124{,}9\ \text{m}\).
La figure n’est pas à l’échelle.
Question
On considère le triangle \(ABH\).
Déterminer la mesure de chacun de ses trois angles.
Donner les résultats
arrondis au degré près.
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Voici une carte découverte par Ruffy qui lui permettra de déterrer le fameux trésor de Math le Pirate. On note :
• \(P\), le phare
• \(C\), le cocotier sous lequel est enterré le trésor.
Le point \(C\) est sur le demi-cercle de diamètre \([PR]\).
Aidez-le à mettre la main sur le butin :
La distance du phare au rocher en forme de crâne est de 3 000 brasses.
Question
Calculer la distance \(RC\) en brasses.
D’après Brevet des Collèges – Nouvelle Calédonie - 2012.
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La distance entre le phare \(P\) du cap N’Doua et le ponton \(O\) de la tribu de Ouara est égale à environ \(4{,}65\ \text{km}\).
Un bateau \(B\) se trouve au large de ce ponton.
Le triangle \(OPB\) est rectangle en \(B\) et des visées ont permis d’établir que \(\widehat{OPB}=30^\circ\).
Cette figure est donnée à titre indicatif et n’est pas en vraie grandeur.
1)
Montrer que la distance séparant le bateau \(B\)
du ponton \(O\) est égale à
\(2\,325\ \text{m}\).
2)
Sachant que le bateau \(B\) se déplace à
\(15{,}5\ \text{km/h}\),
déterminer le temps, en minutes,
qu’il lui faudra pour rejoindre le ponton \(O\).
D’après DNB Nouvelle-Calédonie, 2007.
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Leïla est en visite à Paris. Aujourd’hui, elle est au Champ de Mars où l’on peut voir la tour Eiffel dont la hauteur totale \(BH\) est de \(324\ \text{m}\).
Elle pose son appareil photo au sol à une distance \(AB=600\ \text{m}\) du monument et le programme pour prendre une photo.
La figure n’est pas à l’échelle.
1)
Quelle est la mesure, au degré près,
de l’angle \(\widehat{HAB}\) ?
2)
Sachant que Leïla mesure \(1{,}70\ \text{m}\),
à quelle distance \(AL\) de son appareil doit-elle
se placer pour paraître aussi grande que la tour Eiffel
sur sa photo ?
Donner une valeur approchée du résultat
au centimètre près.
D’après DNB Antilles-Guyane, 2019.
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Lorsqu’un voilier est face au vent, il ne peut pas avancer. Si la destination choisie nécessite de prendre une direction face au vent, le voilier devra progresser en faisant des zigzags.
La figure n’est pas à l’échelle.
Question
Comparer les trajectoires de ces deux voiliers
en calculant la distance, en kilomètre et arrondie
au dixième, que chacun a parcourue.
D’après DNB Polynésie, juillet 2019.
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Madame Martin souhaite réaliser une terrasse en béton en face de sa baie vitrée. Elle réalise la figure ci-dessous.
Pour faciliter l’écoulement des eaux de pluie, le sol de la terrasse doit être incliné.
La terrasse a la forme d’un prisme droit dont
la base est le quadrilatère \(ABCD\) et la hauteur
est le segment \([CG]\).
\(P\) est le point du segment \([AD]\) tel que
\(BCDP\) est un rectangle.
Question
1)
L’angle \(\widehat{ABP}\) doit mesurer entre
\(1^\circ\) et \(1{,}5^\circ\).
Le projet de madame Martin vérifie-t-il cette condition ?
2)
Madame Martin souhaite se faire livrer le béton
nécessaire à la réalisation de sa terrasse.
Elle fait appel à une entreprise spécialisée.
À l’aide des informations ci-dessous,
déterminer le montant de la facture établie
par l’entreprise.
Distance entre l’entreprise et la maison de madame Martin : \(23\ \text{km}\).
Volume d’un prisme droit
= aire de la base du prisme × hauteur du prisme.
• Prix du m³ de béton : \(95\ €\).
• Capacité maximale du camion-toupie :
\(6\ \text{m}^3\).
• Frais de livraison :
\(5\ €\) par km parcouru par le camion-toupie.
• L’entreprise facture les distances aller et retour
(entreprise / lieu de livraison)
parcourues par le camion-toupie.
D’après DNB Amérique du Nord, 2018.
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