3ème

Cosinus Sinus Tangente

Exercices, challenges et problèmes corrigés pour maîtriser le cosinus, le sinus et la tangente dans un triangle rectangle, calculer une longueur et déterminer la mesure d’un angle.

Les exercices et challenges sont rangés par ordre de difficulté.

Exercices

Exercices directement conformes aux attendus du programme. Choisir entre cosinus, sinus et tangente pour calculer une longueur ou déterminer la mesure d’un angle.

Challenges

Configurations plus techniques avec plusieurs étapes de raisonnement, choix du bon rapport trigonométrique et combinaisons possibles avec le théorème de Pythagore.

Problèmes

Problèmes contextualisés inspirés des sujets du brevet des collèges mobilisant le cosinus, le sinus et la tangente pour calculer des hauteurs, des distances, des longueurs ou des angles.

Tout ce qu’il faut pour maîtriser la trigonométrie

30 exercices progressifs

100 % corrections détaillées

+10 triangles rectangles et figures claires

Exercice 1 Correction gratuite

On considère les trois triangles rectangles suivants.

Cas 1

Cas 2

Cas 3

Question
1) Pour chacun des trois triangles, indiquer :
• l’hypoténuse ;
• le côté adjacent à l’angle indiqué ;
• le côté opposé à l’angle indiqué.

Correction

Bilan des réponses

Cas 1

Hypoténuse : \([AC]\) — adjacent : \([AB]\) — opposé : \([BC]\) .

Cas 2

Hypoténuse : \([DF]\) — adjacent : \([EF]\) — opposé : \([DE]\) .

Cas 3

Hypoténuse : \([GI]\) — adjacent : \([HI]\) — opposé : \([GH]\) .

1) Pour chacun des trois triangles, indiquer l’hypoténuse, le côté adjacent à l’angle indiqué et le côté opposé à l’angle indiqué.

Cas 1 — angle de \(33^\circ\)

L’angle droit est en \(B\). Le côté situé en face de cet angle droit est \([AC]\).

L’hypoténuse est donc \([AC]\).

Par rapport à l’angle de \(33^\circ\), le côté opposé est \([BC]\).

Le côté \([AB]\) touche l’angle de \(33^\circ\) et n’est pas l’hypoténuse : c’est donc le côté adjacent.

Cas 2 — angle de \(32^\circ\)

L’angle droit est en \(E\). Le côté situé en face est \([DF]\).

L’hypoténuse est donc \([DF]\).

Par rapport à l’angle de \(32^\circ\), le côté opposé est \([DE]\).

Le côté \([EF]\) touche l’angle de \(32^\circ\) sans être l’hypoténuse : c’est le côté adjacent.

Cas 3 — angle de \(56^\circ\)

L’angle droit est en \(H\). Le côté situé en face de l’angle droit est \([GI]\).

L’hypoténuse est donc \([GI]\).

Par rapport à l’angle de \(56^\circ\), le côté opposé est \([GH]\).

Le côté \([HI]\) touche l’angle de \(56^\circ\) et n’est pas l’hypoténuse : c’est donc le côté adjacent.

Exercice 2

Pour chacun des deux triangles rectangles suivants, on cherche à déterminer l’angle indiqué par ?.

On ne calculera pas encore la valeur de l’angle : on écrira seulement la relation trigonométrique adaptée avec les longueurs données.

Cas 1

Cas 2

Questions
1) Cas 1 : écrire la formule du cosinus permettant de déterminer l’angle \(\widehat{BAC}\), puis remplacer les longueurs par les valeurs données sur la figure.
2) Cas 2 : écrire la formule trigonométrique permettant de déterminer l’angle \(\widehat{DFE}\), puis remplacer les longueurs par les valeurs données sur la figure.

Correction

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Exercice 3

On considère le triangle \(ABC\) rectangle en \(B\). On sait que \(AB=6{,}2\ \text{cm}\) et \(AC=9{,}5\ \text{cm}\).

Question
1) Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{ACB}\). Donner le résultat au degré près.

Correction

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Exercice 4

On considère le triangle \(MNP\) rectangle en \(N\). On sait que \(PN=5{,}8\ \text{cm}\) et \(PM=11\ \text{cm}\).

Question
1) Calculer la mesure du plus grand angle aigu \(\widehat{MPN}\). Donner le résultat au degré près.

Correction

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Exercice 5

On considère le triangle \(JKL\) rectangle en \(K\). On sait que \(\widehat{KJL}=34^\circ\) et \(KL=5{,}6\ \text{cm}\).

Question
1) Calculer la longueur \(JK\). Donner le résultat au dixième de centimètre près.

Correction

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Exercice 6

On considère le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\). On sait que \(\widehat{ABC}=62^\circ\) et \(AB=4{,}8\ \text{cm}\).

Question
1) Calculer la longueur \(BC\). Donner le résultat au dixième de centimètre près.

Correction

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Exercice 7

On considère le triangle \(ABC\) rectangle en \(A\). Le point \(D\) appartient au segment \([BC]\) et \((AD)\) est perpendiculaire à \((BC)\). On sait que \(AD=6{,}4\ \text{cm}\) et \(BD=4{,}8\ \text{cm}\).

Questions
1) Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{BAD}\). Donner le résultat au degré près.
2) En déduire la mesure de tous les autres angles des triangles de la figure.

Correction

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Exercice 8

Les points \(E\), \(H\), \(G\) et \(I\) sont alignés dans cet ordre. La droite \((FH)\) est perpendiculaire à la droite \((EI)\). On sait que \(EF=11{,}5\ \text{cm}\), \(HG=7{,}2\ \text{cm}\) et \(\widehat{FGH}=50^\circ\).

Question
1) Calculer la longueur \(FH\). Donner le résultat au dixième de centimètre près.

Correction

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Exercice 9

On considère le triangle \(ABC\). Le point \(D\) appartient au segment \([BC]\) et \((AD)\perp(BC)\).

Questions
1) Calculer la longueur \(AC\). Donner le résultat au dixième de centimètre près.
2) Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{BAD}\). Donner le résultat au degré près.
3) En déduire la mesure de l’angle \(\widehat{ABD}\).
4) Calculer la mesure de l’angle \(\widehat{CAD}\), puis en déduire celle de l’angle \(\widehat{BAC}\).

Correction

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Exercice 10

\(EFGH\) est un rectangle. La diagonale \([EG]\) est tracée.

Questions
1) Calculer les longueurs \(EF\) et \(FG\). Donner les résultats au dixième de centimètre près.
2) En déduire le périmètre du rectangle \(EFGH\), au dixième de centimètre près.
3) Calculer l’aire du rectangle \(EFGH\), au dixième de \(\text{cm}^2\) près.

Correction

Bilan des réponses

\(EF\approx10{,}9\ \text{cm}\) et \(FG\approx7{,}1\ \text{cm}\).

Le périmètre du rectangle est d’environ \(36{,}0\ \text{cm}\).

L’aire du rectangle est d’environ \(77{,}2\ \text{cm}^2\).

1) Calculer les longueurs \(EF\) et \(FG\). Donner les résultats au dixième de centimètre près.

Dans le triangle \(EFG\) rectangle en \(F\), par rapport à l’angle \(\widehat{FEG}\) , \([EF]\) est le côté adjacent , \([FG]\) est le côté opposé et \([EG]\) est l’hypoténuse .

Calcul de \(EF\) :

\(\cos(\widehat{FEG})\) \(= \dfrac{ \textcolor{limegreen}{EF} }{ \textcolor{deeppink}{EG} }\)

\(\cos(33^\circ)\) \(= \dfrac{ \textcolor{limegreen}{EF} }{ \textcolor{deeppink}{13} }\)

\(\textcolor{limegreen}{EF} = \textcolor{deeppink}{13} \times \textcolor{gold}{\cos(33^\circ)}\)

\(EF\approx10{,}9\ \text{cm}\)

Calcul de \(FG\) :

\(\sin(\widehat{FEG})\) \(= \dfrac{ \textcolor{violet}{FG} }{ \textcolor{deeppink}{EG} }\)

\(\sin(33^\circ)\) \(= \dfrac{ \textcolor{violet}{FG} }{ \textcolor{deeppink}{13} }\)

\(\textcolor{violet}{FG} = \textcolor{deeppink}{13} \times \textcolor{gold}{\sin(33^\circ)}\)

\(FG\approx7{,}1\ \text{cm}\)

2) En déduire le périmètre du rectangle \(EFGH\), au dixième de centimètre près.

Dans un rectangle, les côtés opposés ont la même longueur.

\(P=2\times( \textcolor{limegreen}{EF}+ \textcolor{violet}{FG})\)

\(P\approx2\times( \textcolor{limegreen}{10{,}9}+ \textcolor{violet}{7{,}1})\)

\(P\approx36{,}0\ \text{cm}\)

3) Calculer l’aire du rectangle \(EFGH\), au dixième de \(\text{cm}^2\) près.

L’aire d’un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur.

\(\mathcal A= \textcolor{limegreen}{EF}\times \textcolor{violet}{EH}\)

\(\mathcal A\approx \textcolor{limegreen}{10{,}9}\times \textcolor{violet}{7{,}1}\)

\(\mathcal A\approx77{,}2\ \text{cm}^2\)

Tout ce qu’il faut pour maîtriser les transformations géométriques

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Conseil de professeur

Comment progresser réellement en mathématiques ?

Le but n’est pas seulement de trouver la bonne réponse. Pour progresser durablement, il faut chercher, comprendre puis refaire. Une correction est utile uniquement si elle t’aide à identifier précisément ce que tu n’avais pas compris.

Chercher seul

Analyser la figure, identifier les données utiles et essayer de résoudre l'exercice par écrit avant d’ouvrir la correction.

Comprendre la correction

Ne recopie pas mécaniquement. Vérifie pourquoi cette propriété est utilisée et repère précisément l’étape qui t’avait bloqué pour savoir ce qu'il faudra faire dans ce type de cas.

Refaire sans aide

Recommence l’exercice à l'écrit, sans consulter la correction, afin de vérifier que la méthode est réellement acquise. Penser savoir le faire et le faire par écrit sont deux choses différentes.

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