Triangles semblables

On considère la figure ci-dessous.

La figure n’est pas à l’échelle.

1. Calculer la longueur \(RT\).

2. Déterminer la nature du triangle \(RTU\).

3. Démontrer que les triangles \(RST\) et \(RTU\) sont semblables, puis déterminer le coefficient d’agrandissement permettant de passer du triangle \(RST\) au triangle \(RTU\).

Dans la figure ci-dessous, \(Q\) est le pied de la hauteur issue de \(M\) dans le triangle \(MNP\).

La figure n’est pas à l’échelle.

Question : Qui a raison parmi Nora, Eliott et Lina ? Justifier rigoureusement la réponse.

Élise et son petit frère Malo sont venus observer un ancien campanile penché.

À l’aide d’un clinomètre, ils mesurent les angles qu’ils reportent sur le schéma ci-dessous.

Le campanile est matérialisé par le segment \([GH]\), Élise est repérée par le point \(E\) et Malo par le point \(M\).

Pour faciliter leurs mesures, ils utilisent un lampadaire de sommet \(P\), placé devant le campanile.

Élise affirme que le triangle qu’ils forment avec le sommet du lampadaire est semblable au triangle qu’elle forme avec le campanile.

La figure n’est pas à l’échelle.

Question : Démontrer qu’Élise a raison.

Joy, un célèbre pirate au chapeau de paille, navigue sur son bateau qui possède deux voiles triangulaires : une grande voile et une petite voile.

Ces deux voiles sont assimilées à des triangles rectangles semblables.

La grande voile possède une hauteur de \(8\text{ m}\) et une base de \(5\text{ m}\). La base de la petite voile mesure \(2\text{ m}\).

La figure n’est pas à l’échelle.

Question : Quelle est l’aire de la petite voile ?

L’unité de longueur est le mètre.

Inès souhaite déterminer la hauteur d’une éolienne sans avoir à grimper jusqu’à son sommet.

Elle pose un petit miroir à plat sur le sol, puis recule jusqu’à apercevoir exactement le sommet de l’éolienne dans le miroir.

Afin de limiter l’impact visuel des installations sur le paysage, la charte environnementale du site impose qu’une éolienne ne dépasse pas une hauteur totale de \(32\text{ m}\).

L’unité de longueur est le centimètre.

Lors d’une partie de billard, Maël souhaite envoyer la bille blanche \(Q\) contre la bande supérieure afin qu’elle touche ensuite la bille rouge \(P\).

Le point \(R\) désigne le point de rebond sur la bande. Les points \(C\), \(R\) et \(D\) sont situés sur cette bande.

On considère les deux affirmations suivantes :

Affirmation 1 : « Deux triangles isocèles sont nécessairement semblables. »

Affirmation 2 : « Deux triangles rectangles isocèles sont nécessairement semblables. »

Pour chacune de ces affirmations, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier rigoureusement la réponse. Lorsqu’une affirmation est fausse, proposer un contre-exemple.

Le triangle \(PQR\) est isocèle en \(P\). Ses côtés mesurent \(5\text{ cm}\), \(5\text{ cm}\) et \(8\text{ cm}\).

Le triangle \(XYZ\) est également isocèle et il est semblable au triangle \(PQR\).

Ses côtés mesurent \(20\text{ cm}\), \(x\text{ cm}\) et \(y\text{ cm}\), avec \(x\leq y\).

1. Représenter les deux cas possibles pour le triangle \(XYZ\).

2. Déterminer toutes les valeurs possibles de \(x\) et de \(y\).

Pour décorer la place d’un festival, Maëlys fabrique une armature triangulaire \(MNP\). Une tige \([MQ]\) rejoint le point \(Q\), situé sur le segment \([NP]\).

La tige est placée de telle sorte que :

\[ \widehat{NMQ} = \widehat{NPM} \]

On sait également que \(NP=12\text{ cm}\) et que \(NQ=3\text{ cm}\).

La figure n’est pas à l’échelle.

Question : Démontrer que \( MN^2=NP\times NQ \), puis calculer la longueur \(MN\).

On considère la figure ci-dessous.

Le triangle \(RST\) est situé à l’intérieur du triangle \(UVW\).

Les trois segments orange mesurent chacun \(1{,}4\text{ cm}\). Les angles droits représentés indiquent que chacun de ces segments est perpendiculaire aux deux côtés qu’il relie.

Les côtés du triangle \(RST\) mesurent \(6{,}5\text{ cm}\), \(7{,}2\text{ cm}\) et \(8{,}4\text{ cm}\).

La figure n’est pas à l’échelle.

Question : Les triangles \(RST\) et \(UVW\) sont-ils semblables ? Justifier rigoureusement la réponse.

D’après DNB France métropolitaine, juin 2018.

Valériane souhaite estimer la hauteur d’une tour d’observation. Elle pose un petit miroir au sol au point \(M\), puis se place de manière à voir le sommet \(S\) de la tour dans ce miroir.

Dans un skatepark, on a construit deux rampes de même forme, mais de tailles différentes. Les triangles \(LMN\) et \(QRS\), qui modélisent les faces avant de ces deux rampes, sont semblables.

Le triangle \(LMN\) est rectangle en \(N\).

Le triangle \(QRS\) est rectangle en \(S\).

On sait que \(MN=5{,}6\text{ m}\), \(LM=7\text{ m}\) et \(SR=4\text{ m}\).

Les triangles \(LMN\) et \(QRS\) sont semblables.

Noa, située au point \(G\), vit à Grand-Rivage, sur l’île de Néréa. On cherche à calculer la distance à vol d’oiseau qui la sépare du Cap Nord, situé au point \(N\).

On considère la figure suivante, qui n’est pas représentée en vraie grandeur.

D’après brevet, Grèce, juin 2019.

Un technicien utilise une caméra d’observation pour déterminer la hauteur d’une sculpture installée dans un parc.

Le fonctionnement de la caméra est modélisé par la figure suivante, qui n’est pas représentée en vraie grandeur.

Dans une base de loisirs, deux parcours cyclistes forment deux triangles semblables.
On cherche la distance parcourue par Noa lorsqu’il effectue deux tours du grand parcours.

Pour décorer la scène d’un spectacle, un technicien utilise un projecteur afin d’agrandir un petit motif sur un écran.

Le motif est représenté par le segment \([AB]\) et son image projetée sur l’écran par le segment \([CD]\).

Nina souhaite tracer un cercle sur une grande affiche. Elle utilise un compas muni d’une tige de réglage qui permet de maintenir l’écartement entre ses deux branches.

On considère la situation suivante, qui n’est pas représentée en vraie grandeur.