Symétries, translations
et rotations
Exercices, challenges et problèmes corrigés pour maîtriser les symétries axiales et centrales, les translations, les rotations et la construction de l’image d’une figure.
Les exercices et challenges sont rangés par ordre de difficulté.
Exercices
Exercices directement conformes aux attendus du programme. Construction et reconnaissance des caractéristiques de chaque transformation.
Challenges
Configurations plus techniques destinées aux élèves qui ont des enseignants exigeants et qui souhaitent approfondir les notions.
Problèmes
Problèmes contextualisés inspirés des sujets du brevet des collèges mobilisant les symétries, les translations et les rotations.
Tout ce qu’il faut pour maîtriser les transformations géométriques
La figure ci-dessous comporte quatre droites \((d)\), \((d_1)\), \((d_2)\) et \((d_3)\), ainsi que plusieurs points.
Sans utiliser d’instrument de géométrie, déterminer à l’œil nu le symétrique de chacun des points indiqués.
Questions
a) Le symétrique du point \(P\) par rapport à la droite \((d)\).
b) Le symétrique du point \(R\) par rapport à la droite \((d_1)\).
c) Le symétrique du point \(T\) par rapport à la droite \((d_2)\).
d) Le symétrique du point \(V\) par rapport à la droite \((d)\).
e) Le symétrique du point \(X\) par rapport à la droite \((d_3)\).
f) Le symétrique du point \(Z\) par rapport à la droite \((d_2)\).
Repérer deux points symétriques
Deux points sont symétriques par rapport à une droite lorsque cette droite est la médiatrice du segment qui les relie.
Cela signifie que le segment reliant les deux points est perpendiculaire à l’axe de symétrie et que les deux points sont situés à la même distance de cet axe.
a) Les points \(P\) et \(Q\) sont situés à la même distance de part et d’autre de la droite \((d)\).
\[ \boxed{ \text{Le symétrique de }P \text{ par rapport à }(d) \text{ est }\textcolor{gold}{Q} } \]
b) Les points \(R\) et \(S\) sont symétriques par rapport à la droite \((d_1)\).
\[ \boxed{ \text{Le symétrique de }R \text{ par rapport à }(d_1) \text{ est }\textcolor{gold}{S} } \]
c) Les points \(T\) et \(U\) sont symétriques par rapport à la droite \((d_2)\).
\[ \boxed{ \text{Le symétrique de }T \text{ par rapport à }(d_2) \text{ est }\textcolor{gold}{U} } \]
d) Les points \(V\) et \(W\) sont symétriques par rapport à la droite \((d)\).
\[ \boxed{ \text{Le symétrique de }V \text{ par rapport à }(d) \text{ est }\textcolor{gold}{W} } \]
e) Les points \(X\) et \(Y\) sont symétriques par rapport à la droite \((d_3)\).
\[ \boxed{ \text{Le symétrique de }X \text{ par rapport à }(d_3) \text{ est }\textcolor{gold}{Y} } \]
f) Les points \(Z\) et \(A\) sont symétriques par rapport à la droite \((d_2)\).
\[ \boxed{ \text{Le symétrique de }Z \text{ par rapport à }(d_2) \text{ est }\textcolor{gold}{A} } \]
On considère le quadrilatère \(ABCD\) et la droite \((d)\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure, puis construire le quadrilatère \(A'B'C'D'\), symétrique du quadrilatère \(ABCD\) par rapport à la droite \((d)\).
On laissera apparents les traits de construction.
Principe de la construction
Pour construire le symétrique d’un point par rapport à une droite, on commence par tracer la perpendiculaire à cette droite qui passe par le point.
On reporte ensuite au compas la distance entre le point et l’axe, de l’autre côté de celui-ci.
1) Construire l’image du point \(A\)
On commence par tracer la droite perpendiculaire à \((d)\) qui passe par le point \(A\).
La perpendiculaire coupe \((d)\) au point \(H\).
\[ \textcolor{skyblue}{(AH)} \perp \textcolor{gold}{(d)} \]
À l’aide du compas, on reporte la longueur \(HA\) de l’autre côté de l’axe.
\[ \textcolor{skyblue}{HA} = \textcolor{deeppink}{HA'} \]
Le point \(A'\) doit être placé sur cette même perpendiculaire, de l’autre côté de l’axe.
La distance de \(A'\) à l’axe doit être égale à la distance de \(A\) à l’axe.
Le point obtenu est \(A'\), symétrique de \(A\) par rapport à \((d)\).
2) Construire les autres sommets
On recommence la même construction pour \(B\), \(C\) et \(D\).
Pour chacun de ces points, on trace la perpendiculaire à l’axe \((d)\), puis on reporte la distance à l’axe de l’autre côté.
3) Relier les points images
On relie successivement les points \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) .
Le quadrilatère \(\textcolor{deeppink}{A'B'C'D'}\) est le symétrique du quadrilatère \(\textcolor{skyblue}{ABCD}\) par rapport à la droite \((d)\).
Méthode à retenir
| Étape | Construction |
|---|---|
| 1 | Tracer la perpendiculaire à \((d)\) passant par le point |
| 2 | Mesurer au compas la distance entre le point et \((d)\) |
| 3 | Reporter cette distance de l’autre côté de \((d)\) |
| 4 | Recommencer pour chaque sommet, puis relier les points images |
On a représenté ci-dessous six triangles numérotés de \(1\) à \(6\), ainsi que trois points \(R\), \(S\) et \(T\).
Certains triangles sont les images du triangle \(1\) par des symétries centrales.
Questions
a)
Dans la symétrie centrale de centre \(R\), quel triangle
est l’image du triangle \(1\) ?
b)
Les triangles \(1\) et \(3\) sont symétriques
par rapport à quel point ?
c)
Quel triangle est l’image du triangle \(1\)
par la symétrie centrale de centre \(S\) ?
Reconnaître une symétrie centrale
Une symétrie centrale de centre \(O\) correspond à un demi-tour autour du point \(O\).
Si un point \(A\) a pour image \(A'\), alors le centre \(O\) est le milieu du segment \([AA']\).
Il ne suffit pas que les deux figures aient la même forme : leurs sommets correspondants doivent être alignés avec le centre de la symétrie.
Pour vérifier une symétrie centrale, on peut relier les sommets correspondants des deux triangles.
Les segments obtenus doivent tous avoir le même milieu : le centre de la symétrie.
a) Déterminer l’image du triangle \(1\) par la symétrie de centre \(R\)
On effectue un demi-tour du triangle \(1\) autour du point \(R\).
Après le demi-tour, le triangle \(1\) vient se superposer au triangle \(6\).
Les trois segments reliant les sommets correspondants passent par le point \(R\).
De plus, le point \(R\) est le milieu de chacun de ces segments.
Triangle 1 ⟶ centre R ⟶ Triangle 6
L’image du triangle \(1\) est donc le triangle \(6\).
b) Déterminer le centre de la symétrie entre les triangles \(1\) et \(3\)
On choisit deux paires de sommets correspondants des triangles \(1\) et \(3\), puis on trace les deux droites qui les relient.
Les deux droites se coupent au point \(T\). Ce point est donc le centre recherché.
Triangle 1 ⟶ centre T ⟶ Triangle 3
Les triangles \(1\) et \(3\) sont symétriques par rapport au point \(T\).
c) Déterminer l’image du triangle \(1\) par la symétrie de centre \(S\)
On effectue cette fois-ci un demi-tour du triangle \(1\) autour du point \(S\).
Après le demi-tour, le triangle \(1\) vient se superposer au triangle \(5\).
Triangle 1 ⟶ centre S ⟶ Triangle 5
L’image du triangle \(1\) par la symétrie centrale de centre \(S\) est le triangle \(5\).
d) Identifier la transformation permettant de passer du triangle \(1\) au triangle \(6\)
On observe le déplacement qui permet de passer du triangle \(1\) au triangle \(6\).
\[ \text{Demi-tour autour de }R \]
\[ = \]
\[ \text{Symétrie centrale de centre }R \]
Le triangle \(6\) est l’image du triangle \(1\) par la symétrie centrale de centre \(R\).
Bilan
| Question | Réponse |
|---|---|
| a) | Le triangle \(6\) |
| b) | Le point \(T\) |
| c) | Le triangle \(5\) |
| d) | La symétrie centrale de centre \(R\) |
On considère le quadrilatère \(ABCD\) et le point \(O\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure ci-dessous, puis construire le quadrilatère \(A'B'C'D'\), image du quadrilatère \(ABCD\) par la symétrie centrale de centre \(O\).
Principe de la construction
Dans une symétrie centrale de centre \(O\), le centre \(O\) est le milieu du segment reliant un point à son image.
Pour construire l’image \(A'\) du point \(A\), les points \(A\), \(O\) et \(A'\) doivent être alignés.
Il faut également respecter l’égalité \(OA=OA'\).
Pour chaque sommet, il faut donc vérifier deux conditions :
— le sommet, le centre \(O\) et son image sont alignés ;
— le centre \(O\) est situé à égale distance du sommet
et de son image.
1) Tracer la droite \((AO)\)
Le point \(A'\) doit appartenir à la droite passant par \(A\) et par le centre \(O\).
On trace donc la droite \((AO)\), puis on la prolonge de l’autre côté de \(O\).
2) Reporter la longueur \(OA\)
On ouvre le compas à la longueur \(OA\).
Sans modifier l’ouverture du compas, on place sa pointe sur le centre \(O\).
On trace seulement un petit arc de cercle de l’autre côté de \(O\). Cet arc coupe la droite \((AO)\) en un point.
a) Tracer l’arc de cercle de centre \(O\) et de rayon \(OA\).
b) Placer le point \(A'\) à l’intersection de l’arc et de la droite \((AO)\).
Le point d’intersection situé de l’autre côté de \(O\) est l’image \(A'\).
\[ \textcolor{skyblue}{OA} = \textcolor{deeppink}{OA'} \]
3) Construire les points \(B'\), \(C'\) et \(D'\)
Construction de \(B'\)
1. On trace la droite \((BO)\) et on la prolonge de l’autre côté de \(O\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(OB\), puis, sans modifier son ouverture, on place sa pointe sur \(O\) et on trace un petit arc de cercle de l’autre côté de \(O\).
3. L’intersection de cet arc avec la droite \((BO)\) est \(B'\). Ainsi, \(B\), \(O\) et \(B'\) sont alignés et \(OB=OB'\).
Construction de \(C'\)
1. On trace la droite \((CO)\) et on la prolonge de l’autre côté de \(O\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(OC\), puis, sans modifier son ouverture, on place sa pointe sur \(O\) et on trace un petit arc de cercle de l’autre côté de \(O\).
3. L’intersection de cet arc avec la droite \((CO)\) est \(C'\). Ainsi, \(C\), \(O\) et \(C'\) sont alignés et \(OC=OC'\).
Construction de \(D'\)
1. On trace la droite \((DO)\) et on la prolonge de l’autre côté de \(O\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(OD\), puis, sans modifier son ouverture, on place sa pointe sur \(O\) et on trace un petit arc de cercle de l’autre côté de \(O\).
3. L’intersection de cet arc avec la droite \((DO)\) est \(D'\). Ainsi, \(D\), \(O\) et \(D'\) sont alignés et \(OD=OD'\).
4) Relier les points images
On relie les points \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) dans le même ordre que les sommets du quadrilatère initial.
Une symétrie centrale conserve les longueurs et les angles. Les deux quadrilatères ont donc exactement les mêmes dimensions.
Le quadrilatère \(\textcolor{deeppink}{A'B'C'D'}\) est l’image du quadrilatère \(\textcolor{skyblue}{ABCD}\) par la symétrie centrale de centre \(O\).
Méthode à retenir
| Étape | Construction |
|---|---|
| 1 | Tracer la droite passant par le sommet et par le centre \(O\). |
| 2 | Prendre au compas la distance entre le sommet et le centre \(O\). |
| 3 | Reporter cette distance de l’autre côté de \(O\) en traçant seulement un arc de cercle. |
| 4 | Recommencer pour chaque sommet, puis relier les points images dans le bon ordre. |
On a représenté ci-dessous six motifs numérotés de \(1\) à \(6\), ainsi que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
Certains motifs sont les images d’autres motifs par des translations.
Questions
a)
Quel motif est l’image du motif \(1\) par la translation
qui transforme le point \(A\) en le point \(B\) ?
b)
Quel motif est l’image du motif \(1\) par la translation
qui transforme le point \(C\) en le point \(D\) ?
c)
Quel motif est l’image du motif \(3\) par la translation
qui transforme le point \(C\) en le point \(D\) ?
d)
Le motif \(2\) ou le motif \(4\) peut-il être l’image
du motif \(1\) par une translation ? Justifier.
Reconnaître une translation
Une translation fait glisser une figure dans une direction et un sens donnés, sur une distance donnée.
Lors d’une translation, la figure ne tourne pas et ne se retourne pas.
La forme, les longueurs, les angles et l’orientation de la figure sont conservés.
a) Translation qui transforme \(A\) en \(B\)
Pour passer du point \(A\) au point \(B\), on se déplace vers la droite et légèrement vers le bas.
On applique exactement le même déplacement à chacun des sommets du motif \(1\).
Les sommets obtenus sont ceux du motif \(3\).
Motif 1 ⟶ translation de A vers B ⟶ Motif 3
L’image du motif \(1\) est donc le motif \(3\).
b) Translation qui transforme \(C\) en \(D\)
Pour passer du point \(C\) au point \(D\), on se déplace vers la droite et vers le bas.
En appliquant ce déplacement au motif \(1\), on obtient le motif \(5\).
Motif 1 ⟶ translation de C vers D ⟶ Motif 5
L’image du motif \(1\) est donc le motif \(5\).
c) Image du motif \(3\) par la translation qui transforme \(C\) en \(D\)
On applique au motif \(3\) exactement le même déplacement que celui qui permet de passer de \(C\) à \(D\).
Chaque sommet se déplace vers la droite et vers le bas, sans modifier l’orientation du motif.
On obtient alors le motif \(6\).
Motif 3 ⟶ translation de C vers D ⟶ Motif 6
L’image du motif \(3\) est donc le motif \(6\).
d) Étudier les motifs \(2\) et \(4\)
Le motif \(2\) et le motif \(4\) n’ont pas la même orientation que le motif \(1\).
Aucun des deux ne peut donc être l’image du motif \(1\) par une translation.
Bilan
| Question | Réponse |
|---|---|
| a) | Le motif \(3\) |
| b) | Le motif \(5\) |
| c) | Le motif \(6\) |
| d) | Ni le motif \(2\), ni le motif \(4\) |
Le solide \(ABCDEF\) est un prisme droit à bases triangulaires, représenté ci-dessous en perspective cavalière.
On considère la translation de vecteur \(\overrightarrow{AD}\).
Questions
1)
Quelle est l’image du point \(B\) par la translation du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) ?
2)
Quel point a pour image le point \(F\) par la translation du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) ?
3)
Quelle est l’image du segment \([BC]\) par la translation du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) ?
1) Déterminer l’image du point B
La translation est définie par le vecteur \(\overrightarrow{AD}\) .
On applique au point B le même déplacement que celui permettant de passer de \(A\) à \(D\).
On atteint alors le point E.
2) Déterminer l’antécédent du point F
On cherche le point qui, après le déplacement défini par \(\overrightarrow{AD}\) , arrive au point F.
Le point C subit exactement ce déplacement.
3) Déterminer l’image du segment [BC]
On commence par repérer le segment [BC] et le déplacement donné par \(\overrightarrow{AD}\) .
On applique ensuite ce même déplacement aux deux extrémités du segment.
Figure initiale
Figure obtenue
Le point \(B\) a pour image \(E\) et le point \(C\) a pour image \(F\).
L’image du segment reliant \(B\) à \(C\) est donc le segment reliant \(E\) à \(F\).
Bilan
| Question | Réponse |
|---|---|
| 1) | \(B\) a pour image \(E\) |
| 2) | L’antécédent de \(F\) est \(C\) |
| 3) | Le segment \([BC]\) a pour image le segment \([EF]\) |
On considère le triangle \(ABC\) et les points \(U\) et \(V\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure, puis construire le triangle \(A'B'C'\), image du triangle \(ABC\) par la translation qui transforme \(U\) en \(V\).
Principe de la construction
La translation qui transforme \(U\) en \(V\) déplace tous les points de la même longueur, dans la même direction et dans le même sens.
Pour construire chaque point image, on trace d’abord une droite parallèle à \((UV)\), puis on reporte la longueur \(UV\) au compas.
\[ \textcolor{skyblue}{(MM')}\parallel\textcolor{gold}{(UV)} \qquad\text{et}\qquad \textcolor{violet}{MM'}=\textcolor{gold}{UV} \]
Construction progressive de \(A'\), \(B'\) et \(C'\)
Construction de \(A'\)
1. On trace la droite passant par \(A\) et parallèle à la droite \((UV)\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(UV\). On place sa pointe sur \(A\) et on trace un petit arc coupant la droite parallèle.
3. L’intersection de l’arc et de la droite parallèle, située dans le sens de \(U\) vers \(V\), est le point \(A'\).
Construction de \(B'\)
1. On trace la droite passant par \(B\) et parallèle à la droite \((UV)\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(UV\). On place sa pointe sur \(B\) et on trace un petit arc coupant la droite parallèle.
3. L’intersection de l’arc et de la droite parallèle, située dans le sens de \(U\) vers \(V\), est le point \(B'\).
Construction de \(C'\)
1. On trace la droite passant par \(C\) et parallèle à la droite \((UV)\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(UV\). On place sa pointe sur \(C\) et on trace un petit arc coupant la droite parallèle.
3. L’intersection de l’arc et de la droite parallèle, située dans le sens de \(U\) vers \(V\), est le point \(C'\).
Relier les points images
On relie \(A'\), \(B'\) et \(C'\) dans le même ordre que les sommets du triangle initial.
Une translation conserve les longueurs et les angles. Les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\) sont donc superposables.
Le triangle \(\textcolor{deeppink}{A'B'C'}\) est l’image du triangle \(\textcolor{skyblue}{ABC}\) par la translation qui transforme \(U\) en \(V\).
Méthode à retenir
| Étape | Construction |
|---|---|
| 1 | Tracer par le sommet la droite parallèle à \((UV)\). |
| 2 | Ouvrir le compas à la longueur \(UV\), puis tracer un arc de centre le sommet. |
| 3 | Placer le point image à l’intersection de l’arc et de la droite parallèle, dans le sens de \(U\) vers \(V\). |
| 4 | Recommencer pour chaque sommet, puis relier les points images. |
On considère le quadrilatère \(ABCD\) et les points \(U\) et \(V\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure, puis construire le quadrilatère \(A'B'C'D'\), image du quadrilatère \(ABCD\) par la translation qui transforme \(U\) en \(V\).
Principe de la construction
La translation qui transforme \(U\) en \(V\) déplace tous les sommets dans la direction de la droite \((UV)\), dans le sens de \(U\) vers \(V\), et sur une longueur égale à \(UV\).
\[ \textcolor{skyblue}{(MM')}\parallel\textcolor{gold}{(UV)} \qquad\text{et}\qquad \textcolor{violet}{MM'}=\textcolor{gold}{UV} \]
Construire les points \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\)
Construction de \(A'\)
1. On trace la droite passant par \(A\) et parallèle à la droite \((UV)\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(UV\). On place sa pointe sur \(A\) et on trace un petit arc coupant la droite parallèle.
3. L’intersection située dans le sens de \(U\) vers \(V\) est le point \(A'\).
Construction de \(B'\)
1. On trace la droite passant par \(B\) et parallèle à la droite \((UV)\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(UV\). On place sa pointe sur \(B\) et on trace un petit arc coupant la droite parallèle.
3. L’intersection située dans le sens de \(U\) vers \(V\) est le point \(B'\).
Construction de \(C'\)
1. On trace la droite passant par \(C\) et parallèle à la droite \((UV)\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(UV\). On place sa pointe sur \(C\) et on trace un petit arc coupant la droite parallèle.
3. L’intersection située dans le sens de \(U\) vers \(V\) est le point \(C'\).
Construction de \(D'\)
1. On trace la droite passant par \(D\) et parallèle à la droite \((UV)\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(UV\). On place sa pointe sur \(D\) et on trace un petit arc coupant la droite parallèle.
3. L’intersection située dans le sens de \(U\) vers \(V\) est le point \(D'\).
Les quatre points images sont construits dans la même direction, dans le même sens et à la même distance de leur sommet d’origine.
Relier les points images
On relie \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) dans le même ordre que les sommets du quadrilatère initial.
Une translation conserve les longueurs et les angles. Les deux quadrilatères sont donc superposables.
Le quadrilatère \(\textcolor{deeppink}{A'B'C'D'}\) est l’image du quadrilatère \(\textcolor{#5eead4}{ABCD}\) par la translation qui transforme \(U\) en \(V\).
Méthode à retenir
| Étape | Construction |
|---|---|
| 1 | Tracer par le sommet la droite parallèle à \((UV)\). |
| 2 | Ouvrir le compas à la longueur \(UV\), puis tracer un arc de centre le sommet. |
| 3 | Placer l’image à l’intersection située dans le sens de \(U\) vers \(V\). |
| 4 | Recommencer pour chaque sommet, puis relier les points images. |
On considère le triangle \(ABC\) et le point \(O\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure, puis construire le triangle \(A'B'C'\), image du triangle \(ABC\) par la rotation de centre \(O\), d’angle \(-90^\circ\).
Principe de la rotation
Une rotation de centre \(O\) et d’angle \(-90^\circ\) s’effectue dans le sens horaire.
Pour chaque sommet \(M\) et son image \(M'\), les longueurs \(OM\) et \(OM'\) sont égales et l’angle \(\widehat{MOM'}\) mesure \(90^\circ\).
\[ \textcolor{violet}{OM}=\textcolor{deeppink}{OM'} \qquad\text{et}\qquad \textcolor{gold}{\widehat{MOM'}}=90^\circ \]
Construire les points \(A'\), \(B'\) et \(C'\)
Construction de \(A'\)
1. On trace, à partir de \(O\), la demi-droite perpendiculaire à \([OA)\) située dans le sens horaire car on veut une rotation de \(90°\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(OA\), puis on trace un petit arc de cercle de centre \(O\) coupant cette demi-droite.
3. Le point d’intersection de l’arc et de la demi-droite est \(A'\).
Construction de \(B'\)
1. On trace, à partir de \(O\), la demi-droite perpendiculaire à \([OB)\) située dans le sens horaire car on veut une rotation de \(90°\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(OB\), puis on trace un petit arc de cercle de centre \(O\) coupant cette demi-droite.
3. Le point d’intersection de l’arc et de la demi-droite est \(B'\).
Construction de \(C'\)
1. On trace, à partir de \(O\), la demi-droite perpendiculaire à \([OC)\) située dans le sens horaire car on veut une rotation de \(90°\).
2. On ouvre le compas à la longueur \(OC\), puis on trace un petit arc de cercle de centre \(O\) coupant cette demi-droite.
3. Le point d’intersection de l’arc et de la demi-droite est \(C'\).
Chaque point image est obtenu en tournant son sommet de \(90^\circ\) autour de \(O\), dans le sens horaire.
Relier les points images
On relie \(A'\), \(B'\) et \(C'\) dans le même ordre que les sommets du triangle initial.
Le triangle \(\textcolor{deeppink}{A'B'C'}\) est l’image du triangle \(\textcolor{#ff9f80}{ABC}\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(-90^\circ\).
Méthode à retenir
| Étape | Construction |
|---|---|
| 1 | Tracer depuis \(O\) la demi-droite perpendiculaire à \([OM)\), dans le sens horaire. |
| 2 | Ouvrir le compas à la longueur \(OM\), puis tracer un arc de centre \(O\). |
| 3 | Placer \(M'\) à l’intersection de l’arc et de la demi-droite. |
| 4 | Recommencer pour chaque sommet, puis relier les points images. |
On considère le quadrilatère \(ABCD\) et le point \(O\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure, puis construire le quadrilatère \(A'B'C'D'\), image du quadrilatère \(ABCD\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(60^\circ\), dans le sens antihoraire.
Principe de la rotation
Une rotation d’angle \(60^\circ\) est effectuée dans le sens antihoraire.
Pour chaque sommet \(M\) et son image \(M'\), les longueurs \(OM\) et \(OM'\) sont égales et l’angle orienté de \([OM)\) vers \([OM')\) mesure \(60^\circ\).
\[ \textcolor{violet}{OM}=\textcolor{deeppink}{OM'} \qquad\text{et}\qquad \textcolor{gold}{\widehat{MOM'}}=60^\circ \]
Construire les points \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\)
Construction de \(A'\)
1. À partir de \([OA)\), on trace une demi-droite formant un angle de \(60^\circ\) dans le sens antihoraire.
2. On ouvre le compas à la longueur \(OA\), puis on trace un petit arc de cercle de centre \(O\) coupant cette demi-droite.
3. Le point d’intersection de l’arc et de la demi-droite est \(A'\).
Construction de \(B'\)
1. À partir de \([OB)\), on trace une demi-droite formant un angle de \(60^\circ\) dans le sens antihoraire.
2. On ouvre le compas à la longueur \(OB\), puis on trace un petit arc de cercle de centre \(O\) coupant cette demi-droite.
3. Le point d’intersection de l’arc et de la demi-droite est \(B'\).
Construction de \(C'\)
1. À partir de \([OC)\), on trace une demi-droite formant un angle de \(60^\circ\) dans le sens antihoraire.
2. On ouvre le compas à la longueur \(OC\), puis on trace un petit arc de cercle de centre \(O\) coupant cette demi-droite.
3. Le point d’intersection de l’arc et de la demi-droite est \(C'\).
Construction de \(D'\)
1. À partir de \([OD)\), on trace une demi-droite formant un angle de \(60^\circ\) dans le sens antihoraire.
2. On ouvre le compas à la longueur \(OD\), puis on trace un petit arc de cercle de centre \(O\) coupant cette demi-droite.
3. Le point d’intersection de l’arc et de la demi-droite est \(D'\).
Chaque point image est obtenu en tournant son sommet de \(60^\circ\) autour de \(O\), dans le sens antihoraire.
Relier les points images
On relie \(A'\), \(B'\), \(C'\) et \(D'\) dans le même ordre que les sommets du quadrilatère initial.
Une rotation conserve les longueurs et les angles. Les deux quadrilatères sont donc superposables.
Le quadrilatère \(\textcolor{deeppink}{A'B'C'D'}\) est l’image du quadrilatère \(\textcolor{#86efac}{ABCD}\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(60^\circ\), dans le sens antihoraire.
Méthode à retenir
| Étape | Construction |
|---|---|
| 1 | Tracer depuis \(O\) une demi-droite formant un angle de \(60^\circ\) avec \([OM)\), dans le sens antihoraire. |
| 2 | Ouvrir le compas à la longueur \(OM\), puis tracer un arc de centre \(O\). |
| 3 | Placer \(M'\) à l’intersection de l’arc et de la demi-droite. |
| 4 | Recommencer pour chaque sommet, puis relier les points images. |
Tout ce qu’il faut pour maîtriser les transformations géométriques
Comment progresser réellement en mathématiques ?
Le but n’est pas seulement de trouver la bonne réponse. Pour progresser durablement, il faut chercher, comprendre puis refaire. Une correction est utile uniquement si elle t’aide à identifier précisément ce que tu n’avais pas compris.
Chercher seul
Analyser la figure, identifier les données utiles et essayer de résoudre l'exercice par écrit avant d’ouvrir la correction.
Comprendre la correction
Ne recopie pas mécaniquement. Vérifie pourquoi cette propriété est utilisée et repère précisément l’étape qui t’avait bloqué pour savoir ce qu'il faudra faire dans ce type de cas.
Refaire sans aide
Recommence l’exercice à l'écrit, sans consulter la correction, afin de vérifier que la méthode est réellement acquise. Penser savoir le faire et le faire par écrit sont deux choses différentes.
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