Symétries, translations
et rotations
Exercices, challenges et problèmes corrigés pour maîtriser les symétries axiales et centrales, les translations, les rotations et la construction de l’image d’une figure.
Exercices
Exercices directement conformes aux attendus du programme. Construction et reconnaissance des caractéristiques de chaque transformation.
Challenges
Configurations plus techniques destinées aux élèves qui ont des enseignants exigeants et qui souhaitent approfondir les notions.
Problèmes
Problèmes contextualisés inspirés des sujets du brevet des collèges mobilisant les symétries, les translations et les rotations.
Les exercices et challenges sont rangés par ordre de difficulté.
La figure ci-dessous comporte quatre droites \((d)\), \((d_1)\), \((d_2)\) et \((d_3)\), ainsi que plusieurs points.
Sans utiliser d’instrument de géométrie, déterminer à l’œil nu le symétrique de chacun des points indiqués.
Questions
a)
Le symétrique du point \(P\) par rapport
à la droite \((d)\).
b)
Le symétrique du point \(R\) par rapport
à la droite \((d_1)\).
c)
Le symétrique du point \(T\) par rapport
à la droite \((d_2)\).
d)
Le symétrique du point \(V\) par rapport
à la droite \((d)\).
e)
Le symétrique du point \(X\) par rapport
à la droite \((d_3)\).
f)
Le symétrique du point \(Z\) par rapport
à la droite \((d_2)\).
Bilan des réponses
a) Le symétrique du point \(P\) par rapport à la droite \((d)\) est \(Q\).
b) Le symétrique du point \(R\) par rapport à la droite \((d_1)\) est \(S\).
c) Le symétrique du point \(T\) par rapport à la droite \((d_2)\) est \(U\).
d) Le symétrique du point \(V\) par rapport à la droite \((d)\) est \(W\).
e) Le symétrique du point \(X\) par rapport à la droite \((d_3)\) est \(Y\).
f) Le symétrique du point \(Z\) par rapport à la droite \((d_2)\) est \(A\).
Méthode de construction
Pour vérifier que deux points sont symétriques par rapport à une droite, cette droite doit être la médiatrice du segment qui relie les deux points.
Il faut donc vérifier deux propriétés : le segment reliant le point et son image est perpendiculaire à l’axe de symétrie, et l’axe coupe ce segment en son milieu.
a) Le symétrique du point \(P\) par rapport à la droite \((d)\)
On relie le point \(P\) au point \(Q\). Le segment \([PQ]\) est perpendiculaire à la droite \((d)\).
La droite \((d)\) coupe le segment \([PQ]\) en son milieu : les deux demi-segments ont donc la même longueur.
La droite \((d)\) est donc la médiatrice du segment \([PQ]\). Le point \(Q\) est bien le symétrique du point \(P\).
b) Le symétrique du point \(R\) par rapport à la droite \((d_1)\)
On relie le point \(R\) au point \(S\). Le segment \([RS]\) est perpendiculaire à la droite \((d_1)\).
La droite \((d_1)\) passe exactement par le milieu du segment \([RS]\).
La droite \((d_1)\) est donc la médiatrice du segment \([RS]\). Le point \(S\) est le symétrique du point \(R\).
c) Le symétrique du point \(T\) par rapport à la droite \((d_2)\)
On relie le point \(T\) au point \(U\). Le segment \([TU]\) est perpendiculaire à la droite \((d_2)\).
La droite \((d_2)\) coupe le segment \([TU]\) en son milieu.
La droite \((d_2)\) est donc la médiatrice du segment \([TU]\). Le point \(U\) est le symétrique du point \(T\).
d) Le symétrique du point \(V\) par rapport à la droite \((d)\)
On relie le point \(V\) au point \(W\). Le segment \([VW]\) est perpendiculaire à la droite \((d)\).
La droite \((d)\) coupe le segment \([VW]\) en son milieu.
La droite \((d)\) est la médiatrice du segment \([VW]\). Le point \(W\) est donc le symétrique du point \(V\).
e) Le symétrique du point \(X\) par rapport à la droite \((d_3)\)
On relie le point \(X\) au point \(Y\). Le segment \([XY]\) est perpendiculaire à la droite \((d_3)\).
La droite \((d_3)\) passe par le milieu du segment \([XY]\).
La droite \((d_3)\) est donc la médiatrice du segment \([XY]\). Le point \(Y\) est le symétrique du point \(X\).
f) Le symétrique du point \(Z\) par rapport à la droite \((d_2)\)
On relie le point \(Z\) au point \(A\). Le segment \([ZA]\) est perpendiculaire à la droite \((d_2)\).
La droite \((d_2)\) coupe le segment \([ZA]\) en son milieu.
La droite \((d_2)\) est donc la médiatrice du segment \([ZA]\). Le point \(A\) est le symétrique du point \(Z\).
On considère le quadrilatère \(ABCD\) et la droite \((d)\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure, puis construire le quadrilatère \(A'B'C'D'\), symétrique du quadrilatère \(ABCD\) par rapport à la droite \((d)\).
On laissera apparents les traits de construction.
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On a représenté ci-dessous six triangles numérotés de \(1\) à \(6\), ainsi que trois points \(R\), \(S\) et \(T\).
Certains triangles sont les images du triangle \(1\) par des symétries centrales.
Questions
a)
Dans la symétrie centrale de centre \(R\), quel triangle
est l’image du triangle \(1\) ?
b)
Les triangles \(1\) et \(3\) sont symétriques
par rapport à quel point ?
c)
Quel triangle est l’image du triangle \(1\)
par la symétrie centrale de centre \(S\) ?
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On considère le quadrilatère \(ABCD\) et le point \(O\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure ci-dessous, puis construire le quadrilatère \(A'B'C'D'\), image du quadrilatère \(ABCD\) par la symétrie centrale de centre \(O\).
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On a représenté ci-dessous six motifs numérotés de \(1\) à \(6\), ainsi que les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\).
Certains motifs sont les images d’autres motifs par des translations.
Questions
a)
Quel motif est l’image du motif \(1\) par la translation
qui transforme le point \(A\) en le point \(B\) ?
b)
Quel motif est l’image du motif \(1\) par la translation
qui transforme le point \(C\) en le point \(D\) ?
c)
Quel motif est l’image du motif \(3\) par la translation
qui transforme le point \(C\) en le point \(D\) ?
d)
Le motif \(2\) ou le motif \(4\) peut-il être l’image
du motif \(1\) par une translation ? Justifier.
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Le solide \(ABCDEF\) est un prisme droit à bases triangulaires, représenté ci-dessous en perspective cavalière.
On considère la translation de vecteur \(\overrightarrow{AD}\).
Questions
1)
Quelle est l’image du point \(B\) par la translation du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) ?
2)
Quel point a pour image le point \(F\) par la translation du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) ?
3)
Quelle est l’image du segment \([BC]\) par la translation du vecteur \(\overrightarrow{AD}\) ?
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On considère le triangle \(ABC\) et les points \(U\) et \(V\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure, puis construire le triangle \(A'B'C'\), image du triangle \(ABC\) par la translation qui transforme \(U\) en \(V\).
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On considère le quadrilatère \(ABCD\) et les points \(U\) et \(V\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure, puis construire le quadrilatère \(A'B'C'D'\), image du quadrilatère \(ABCD\) par la translation qui transforme \(U\) en \(V\).
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On considère le triangle \(ABC\) et le point \(O\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure, puis construire le triangle \(A'B'C'\), image du triangle \(ABC\) par la rotation de centre \(O\), d’angle \(-90^\circ\).
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On considère le quadrilatère \(ABCD\) et le point \(O\) représentés ci-dessous.
Reproduire la figure, puis construire le quadrilatère \(A'B'C'D'\), image du quadrilatère \(ABCD\) par la rotation de centre \(O\) et d’angle \(60^\circ\), dans le sens antihoraire.
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