Probabilités
Exercices
Exercices directement conformes aux attendus du programme. Calculs de probabilités simples, expériences aléatoires, issues possibles et situations d’équiprobabilité.
Challenge
Questions plus techniques sur les événements contraires, les tableaux de probabilités, les expériences à plusieurs étapes et les raisonnements logiques. Destiné aux élèves qui veulent aller plus loin.
Problèmes
Problèmes contextualisés pour modéliser une expérience aléatoire, interpréter une situation concrète et justifier une probabilité avec rigueur.
Classer les événements ci-dessous du moins probable au plus probable.
2) « Obtenir pile en lançant une pièce équilibrée. »
3) « Gagner le gros lot d’un très grand jeu national. »
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Lors d’un jeu de rôle, on lance un dé équilibré à \( 12 \) faces.
Les faces sont numérotées de \( 1 \) à \( 12 \).
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Une application choisit au hasard un nombre entier compris entre \( 4 \) et \( 18 \) inclus.
1) Quelles sont les issues possibles de cette expérience aléatoire ? 2) Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit \( 11 \) ? 3) Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit supérieur à \( 15 \) ? 4) Quelle est la probabilité que le nombre choisi soit un multiple de \( 3 \) ?🚫 Ce corrigé est réservé aux membres. Connectez-vous ou achetez le pack.
On place dans un sac des jetons de couleurs différentes :
\( 5 \) jetons rouges, \( 3 \) jetons bleus et \( 2 \) jetons verts.
On pioche au hasard un jeton dans le sac et on regarde sa couleur.
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Dans une boîte, il y a \( 8 \) cartes rouges, \( 5 \) cartes bleues, \( 4 \) cartes vertes et \( 3 \) cartes jaunes. On tire au hasard une carte dans la boîte.
1) Quelle est la probabilité de tirer une carte bleue ?
2) Quelle est la probabilité de tirer une carte qui n’est pas rouge ?
3) Quelle est la probabilité de tirer une carte rouge ou jaune ?
4) Quelle est la probabilité de tirer une carte rose ? Donner le nom de ce type d’événement.
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On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. À chaque lancer, on peut obtenir pile \( P \) ou face \( F \).
1) Compléter l’ensemble des issues possibles.
2) Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois pile ?
3) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement une fois pile ?
4) Donner un événement certain.
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Dans une urne, il y a \( 6 \) boules noires et \( 4 \) boules blanches. On tire une boule au hasard dans l’urne.
1) Quelles sont les issues possibles de cette expérience aléatoire ?
2) Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
3) Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule noire ?
4) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? Donner le nom de ce type d’événement.
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Dans un club sportif, la répartition des adhérents est donnée dans le tableau suivant.
| Activité | Garçons | Filles |
| Musculation | 24 | 36 |
| Natation | 18 | 42 |
On choisit au hasard une personne dans ce club.
On note \( A \) l’événement : « La personne choisie est une fille ».
2) Décrire par une phrase l’événement contraire \( \overline{A} \) et donner sa probabilité.
3) On note \( B \) l’événement : « La personne choisie pratique la natation ». Calculer \( P(B) \).
4) Calculer la probabilité que la personne choisie soit une fille pratiquant la musculation.
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Un robot choisit deux fois de suite une couleur au hasard parmi :
rouge \( (R) \) ou bleu \( (B) \).
| 1er choix | Rouge | Bleu |
| Rouge | \( (R ; R) \) | |
| Bleu |
2) Combien d’issues comporte cette expérience aléatoire ?
3) Quelle est la probabilité d’obtenir deux fois la couleur rouge ?
4) Quelle est la probabilité d’obtenir \( (B ; R) \), c’est-à-dire bleu au premier choix puis rouge au deuxième choix ?
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Lors d’une tombola, on observe le bon d’achat remporté. À chaque gain est associée la probabilité suivante.
| Gain (en €) | 0 | 2 | 10 | 50 | 200 |
| Probabilité | 0,75 | 0,16 | 0,05 | 0,03 | 0,01 |
1) Vérifier que la somme des probabilités vaut \( 1 \).
2) Déterminer la probabilité de l’événement \( A \) : « Gagner au moins \( 10 \) € ».
3) Déterminer la probabilité de l’événement \( B \) : « Gagner strictement moins de \( 50 \) € ».
4) Quel est l’événement contraire de l’événement \( A \) ? Donner sa probabilité.
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Les expériences aléatoires suivantes correspondent-elles à des situations d’équiprobabilité ?
\( A \), \( E \), \( I \), \( O \), \( U \), \( Y \).
On s’intéresse à la lettre obtenue.
2) On pioche au hasard une bille dans un sac qui contient :
\( 4 \) billes rouges et \( 12 \) billes bleues.
On s’intéresse à sa couleur.
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Dans une médiathèque, on choisit au hasard un livre parmi les catégories suivantes :
roman, bande dessinée, manga ou documentaire.
Il n’y a pas d’autres catégories de livres dans cette médiathèque.
a) impossible ;
b) certain ;
c) élémentaire ;
d) constitué d’exactement deux issues.
2) Donner deux événements contraires.
3) Donner un événement qui contient exactement trois issues.
4) L’événement « choisir un manga ou une bande dessinée » est-il un événement élémentaire ?
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Une boîte contient \( 8 \) marqueurs :
\( 3 \) marqueurs à pointe épaisse, dont \( 2 \) noirs et \( 1 \) bleu,
et \( 5 \) marqueurs à pointe fine, dont \( 2 \) noirs, \( 2 \) bleus et \( 1 \) rouge.
Tous les marqueurs sont indiscernables au toucher.
On pioche au hasard un marqueur et on note sa couleur et le type de sa pointe.
| Pointe fine | Pointe épaisse | Total | |
| Noir | |||
| Bleu | |||
| Rouge | |||
| Total | 8 |
2) Les événements suivants sont-ils des événements contraires ?
a) \( A \) : « piocher un marqueur à pointe fine » et \( B \) : « piocher un marqueur bleu ».
b) \( C \) : « piocher un marqueur rouge » et \( D \) : « piocher un marqueur à pointe épaisse ».
c) \( E \) : « piocher un marqueur rouge ou bleu » et \( F \) : « piocher un marqueur noir ».
d) \( G \) : « piocher un marqueur bleu » et \( H \) : « piocher un marqueur noir ».
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Une boîte contient \( 10 \) porte-clés :
\( 4 \) porte-clés en métal, dont \( 2 \) ronds et \( 2 \) carrés,
et \( 6 \) porte-clés en plastique, dont \( 1 \) rond, \( 3 \) carrés et \( 2 \) triangulaires.
Tous les porte-clés sont indiscernables au toucher.
On pioche au hasard un porte-clés et on note sa matière et sa forme.
| Métal | Plastique | Total | |
| Rond | |||
| Carré | |||
| Triangulaire | |||
| Total | 10 |
2) Les événements suivants sont-ils des événements contraires ?
a) \( A \) : « piocher un porte-clés en métal » et \( B \) : « piocher un porte-clés en plastique ».
b) \( C \) : « piocher un porte-clés carré » et \( D \) : « piocher un porte-clés rond ».
c) \( E \) : « piocher un porte-clés rond ou carré » et \( F \) : « piocher un porte-clés triangulaire ».
d) \( G \) : « piocher un porte-clés en plastique » et \( H \) : « piocher un porte-clés rond ».
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Lors d’un tournoi d’échecs, les organisateurs répartissent les participants selon leur catégorie et leur niveau.
Il y a :
\( 8 \) joueurs juniors, dont \( 5 \) de niveau régional et \( 3 \) de niveau national.
\( 12 \) joueurs adultes, dont \( 7 \) de niveau régional et \( 5 \) de niveau national.
On choisit au hasard un joueur inscrit au tournoi.
| Niveau régional | Niveau national | Total | |
| Junior | |||
| Adulte | |||
| Total | 20 |
2) Calculer la probabilité de choisir un joueur junior de niveau national.
3) On considère les événements :
\( A \) : « choisir un joueur adulte »
\( B \) : « choisir un joueur de niveau régional »
Les événements \( A \) et \( B \) sont-ils contraires ? Justifier.
4) On considère l’événement :
\( C \) : « choisir un joueur junior ou de niveau national ».
Calculer la probabilité de l’événement \( C \).
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Une borne d’arcade génère au hasard un nombre entier compris entre \( 1 \) et \( 30 \), avec équiprobabilité.
2) Calculer la probabilité d’obtenir un nombre premier strictement supérieur à \( 20 \).
3) On considère les événements :
\( A \) : « obtenir un nombre pair »
\( B \) : « obtenir un multiple de \( 3 \) »
Les événements \( A \) et \( B \) sont-ils contraires ? Justifier.
4) Calculer la probabilité de l’événement :
« obtenir un nombre pair ou un multiple de \( 3 \) ».
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Dans une compétition de robotique, un programme choisit au hasard une lettre parmi :
\( A \), \( B \), \( C \), \( D \), \( E \), \( F \), \( G \), \( H \), \( I \), \( J \).
Toutes les lettres ont la même probabilité d’être choisies.
2) On considère les événements :
\( A \) : « obtenir une voyelle »
\( B \) : « obtenir une lettre dont le rang est pair »
Donner les issues de l’événement \( A \cap B \).
3) Calculer la probabilité de l’événement :
« obtenir une voyelle ou une lettre dont le rang est supérieur ou égal à \( 8 \) ».
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Un sac contient \( 15 \) perles indiscernables au toucher :
\( 8 \) perles bleues, \( 5 \) perles jaunes et \( 2 \) perles rouges.
On tire au hasard une perle de ce sac et on note sa couleur.
2) Indiquer le nombre minimum de perles à ajouter, ainsi que leur couleur, pour que la probabilité d’obtenir une perle jaune soit égale à la moitié de celle de son événement contraire.
3) Indiquer le nombre minimum de perles à ajouter, ainsi que leur couleur, pour que la probabilité d’obtenir une perle bleue ou jaune soit égale à celle d’obtenir une perle rouge.
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Une boîte contient \( 18 \) badges indiscernables au toucher :
\( 9 \) badges noirs, \( 6 \) badges blancs et \( 3 \) badges dorés.
On tire au hasard un badge de cette boîte et on note sa couleur.
2) Indiquer le nombre minimum de badges à ajouter, ainsi que leur couleur, pour que la probabilité d’obtenir un badge doré soit égale à celle de son événement contraire.
3) Indiquer le nombre minimum de badges à ajouter, ainsi que leur couleur, pour que la probabilité d’obtenir un badge noir soit le double de celle d’obtenir un badge blanc.
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Lors d’une enquête un peu étrange, le coupable a déjà été découvert.
Il reste à identifier l’arme du crime et le lieu où l’action a eu lieu.
Il reste \( 4 \) armes possibles : un poignard, du poison, un chandelier et une baguette de pain.
Il reste aussi \( 3 \) lieux possibles : la bibliothèque, la cuisine et le bureau du principal.
2) Lina propose au hasard : « le chandelier dans le bureau du principal ».
a) Quelle est la probabilité qu’elle ait raison ?
b) En réalité, Lina a tout faux : l’arme n’est pas le chandelier et le lieu n’est pas le bureau du principal. Elle fait alors une nouvelle proposition au hasard parmi les possibilités restantes. Quelle est la probabilité qu’elle ait raison ?
c) Elle s’est encore trompée d’arme, mais elle a trouvé le bon lieu. Expliquer pourquoi elle n’est pas encore sûre d’avoir la bonne arme lors de sa prochaine proposition.
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Trois amis, Inès, Malo et Sofia, ont chacun un sachet de macarons à la fraise et au citron.
Chacun tire au hasard un macaron dans son sachet et on note son parfum.
• celui d’Inès : \( 5 \) macarons citron et \( 15 \) macarons fraise ;
• celui de Malo : \( 12 \) macarons fraise ;
• celui de Sofia : \( 8 \) macarons citron et \( 16 \) macarons fraise.
a) Qui a la probabilité la plus grande de tirer un macaron fraise ?
b) Qui a la probabilité la plus grande de tirer un macaron citron ?
2) On souhaite ajouter des macarons citron dans le sachet de Malo afin qu’il ait la même probabilité qu’Inès de tirer un macaron fraise.
Est-ce possible ?
Si oui, combien de macarons citron faut-il ajouter dans le sachet de Malo avant le tirage ?
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Dans une maison de quartier, plusieurs ateliers sont proposés.
Chaque participant est inscrit dans un seul atelier.
On connaît les informations suivantes :
• l’atelier théâtre compte \( 40\% \) d’adultes et \( 36 \) enfants ;
• l’atelier peinture compte \( 42 \) enfants sur un total de \( 100 \) personnes ;
• les adultes représentent la moitié de l’effectif de l’atelier musique, qui compte \( 84 \) personnes ;
• il y a \( 35 \) adultes et \( 25 \) enfants dans l’atelier danse.
| Enfants | Adultes | Total | |
| Théâtre | |||
| Peinture | |||
| Musique | |||
| Danse | |||
| Total |
2) Combien y a-t-il de participants au total dans la maison de quartier ?
3) On sélectionne une personne au hasard dans chaque atelier. Déterminer, pour chaque atelier, la probabilité que ce soit un enfant.
4) Tous les participants participent à une tombola. Chaque personne a exactement un ticket. Quelle est la probabilité que le gagnant soit un adulte de l’atelier peinture ?
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Deux urnes contiennent des boules numérotées indiscernables au toucher.
Le schéma ci-dessous représente le contenu de chacune des urnes.
Urne D : boules numérotées \( 1 \), \( 2 \) et \( 3 \).
Urne U : boules numérotées \( 2 \), \( 3 \), \( 5 \) et \( 6 \).
On forme un nombre entier à deux chiffres en tirant au hasard une boule dans chaque urne :
• le chiffre des dizaines est le numéro de la boule issue de l’urne D ;
• le chiffre des unités est le numéro de la boule issue de l’urne U.
Exemple : en tirant la boule \( 1 \) de l’urne D et ensuite la boule \( 5 \) de l’urne U, on forme le nombre \( 15 \).
2) a) Indiquer les nombres premiers qu’on peut former lors de cette expérience.
b) Montrer que la probabilité de former un nombre premier est égale à \( \dfrac{1}{6} \).
3) Définir un événement dont la probabilité de réalisation est égale à \( \dfrac{1}{3} \).
D’après DNB Amérique du Nord, juin 2018.
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Maya possède des lunettes qu’elle compose en assemblant des montures et des branches.
Elle dispose de deux montures : une verte et une rose.
Elle possède également trois paires de branches : une rose, une noire et une verte.
Elle choisit au hasard une monture et une paire de branches.
| Monture \ Branches | Roses | Vertes | Noires |
|---|---|---|---|
| Verte | (V ; R) | ||
| Rose |
2) Combien y a-t-il d’assemblages possibles ?
3) Déterminer la probabilité d’obtenir une paire de lunettes entièrement verte.
4) Déterminer la probabilité d’obtenir une paire de lunettes d’une seule couleur.
5) Déterminer la probabilité d’obtenir une paire de lunettes bicolore.
D’après DNB Centres étrangers 2018.
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Un sac contient \( 20 \) jetons qui sont soit jaunes, soit verts, soit rouges, soit bleus.
On tire au hasard un jeton, on note sa couleur et on remet le jeton dans le sac.
Chaque jeton a la même probabilité d’être tiré.
Il a représenté ci-dessous la fréquence d’apparition des différentes couleurs au cours de \( 1\,000 \) tirages.
a) Quelle couleur est la plus présente dans le sac ?
b) Donner une estimation de la probabilité d’obtenir un jeton vert.
2) On sait que la probabilité de tirer un jeton rouge est de \( \dfrac{1}{5} \). Combien y a-t-il de jetons rouges dans ce sac ?
D’après DNB Métropole Antilles-Guyane, 2014.
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Dans la vitrine d’un magasin sont présentés au total \( 45 \) modèles de chaussures.
Certaines sont conçues pour la ville, d’autres pour le sport.
On en trouve de trois couleurs différentes : noires, blanches ou marron.
| Couleur | Pour la ville | Pour le sport | Total |
|---|---|---|---|
| Noir | 5 | 20 | |
| Blanc | 7 | ||
| Marron | 3 | ||
| Total | 27 | 45 |
a) Quelle est la probabilité de choisir un modèle de couleur noire ?
b) Quelle est la probabilité de choisir un modèle pour le sport ?
c) Quelle est la probabilité de choisir un modèle pour la ville de couleur marron ?
D’après DNB, Centres étrangers, 2019.
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Mathilde fait tourner deux roues de loterie \( A \) et \( B \), comportant chacune quatre secteurs numérotés.
La probabilité d’obtenir chacun des secteurs d’une roue est la même.
Roue A : secteurs numérotés \( 1 \), \( 2 \), \( 3 \) et \( 4 \).
Roue B : secteurs numérotés \( 6 \), \( 7 \), \( 8 \) et \( 9 \).
L’expérience de Mathilde est la suivante : elle fait tourner les deux roues pour obtenir un nombre à deux chiffres.
Le chiffre obtenu avec la roue \( A \) est le chiffre des dizaines et celui obtenu avec la roue \( B \) est le chiffre des unités.
Par exemple, si la roue \( A \) indique \( 2 \) et la roue \( B \) indique \( 7 \), elle obtient le nombre \( 27 \).
2) Prouver que la probabilité d’obtenir un nombre supérieur à \( 40 \) est \( 0,25 \).
3) Quelle est la probabilité que Mathilde obtienne un nombre divisible par \( 3 \) ?
D’après DNB, Grèce, juin 2019.
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Expérience n°1 :
prendre au hasard un nombre entier compris entre \( 1 \) et \( 11 \) inclus.
Expérience n°2 :
lancer un dé équilibré à six faces numérotées de \( 1 \) à \( 6 \) et annoncer le numéro qui apparaît sur la face du dessus.
D’après DNB, Amérique du Nord, 2019.
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Thomas possède une montre qu’il compose en assemblant des cadrans et des bracelets de plusieurs couleurs.
Deux cadrans : un rouge et un jaune.
Quatre bracelets : un rouge, un jaune, un vert et un noir.
Il choisit au hasard un cadran et un bracelet pour composer sa montre.
2) Déterminer la probabilité d’obtenir une montre toute rouge.
3) Déterminer la probabilité d’obtenir une montre d’une seule couleur.
4) Déterminer la probabilité d’obtenir une montre de deux couleurs.
D’après Brevet Centres étrangers, juin 2018.
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On considère un jeu composé d’un plateau tournant et d’une boule.
Ce plateau comporte \( 13 \) cases numérotées de \( 0 \) à \( 12 \).
On lance la boule sur le plateau.
La boule finit par s’arrêter au hasard sur une case numérotée.
La boule a la même probabilité de s’arrêter sur chaque case.
2) Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur laquelle la boule s’arrête soit un nombre impair ?
3) Quelle est la probabilité que le numéro de la case sur laquelle la boule s’arrête soit un nombre premier ?
4) Lors des deux derniers lancers, la boule s’est arrêtée à chaque fois sur la case numérotée \( 9 \).
A-t-on maintenant plus de chances que la boule s’arrête sur la case numérotée \( 9 \) plutôt que sur la case numérotée \( 7 \) ? Argumenter à l’aide d’un calcul de probabilités.
D’après Brevet des collèges Pondichéry, 3 mai 2018.
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À un stand d’une kermesse, on fait tourner une roue pour gagner un lot : un jouet, une casquette ou des bonbons.
Une flèche permet de désigner le secteur gagnant sur la roue.
On admet que chaque secteur a autant de chance d’être désigné.
1.b) Définir par une phrase l’événement contraire de l’événement « gagne des bonbons ».
1.c) Quelle est la probabilité de l’événement défini au \( 1.b \) ?
2) Soit l’événement « on gagne une casquette ou des bonbons ».
Quelle est la probabilité de cet événement ?
D’après DNB Nouvelle-Calédonie, 10 décembre 2018.
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Trois personnes, Aline, Bernard et Claude, ont chacune un sac contenant des billes.
Chacune tire au hasard une bille de son sac.
Le contenu des sacs est le suivant :
Sac d’Aline
\( 5 \) billes rouges
Sac de Bernard
\( 10 \) billes rouges
et
\( 30 \) billes noires
Sac de Claude
\( 100 \) billes rouges
et
\( 3 \) billes noires
2) On souhaite qu’Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.
Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d’Aline ?
D’après Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte, juin 2009.
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