3ème

Homothéties

Exercices, challenges et problèmes corrigés pour maîtriser les homothéties, les agrandissements, les réductions, les rapports de longueurs et les rapports d’aires.

Les exercices et challenges sont rangés par ordre de difficulté.

Exercices

Exercices directement conformes aux attendus du programme. Construction de l’image d’un point, détermination du centre et utilisation du coefficient d’une homothétie.

Challenges

Configurations plus techniques destinées aux élèves qui sont dans des écoles exigeantes et qui souhaitent approfondir les notions.

Problèmes

Problèmes contextualisés inspirés des sujets du brevet des collèges mobilisant les propriétés des homothéties et la justification de figures obtenues par agrandissement ou réduction.

Tout ce qu’il faut pour maîtriser les homothéties

Un chapitre complet et progressif pour s’entraîner, comprendre les méthodes et se préparer efficacement aux exercices classiques comme aux problèmes de brevet.

30 exercices progressifs

100 % corrections détaillées

+10 figures claires et interactives

Brevet problèmes contextualisés

Exercice 1 Correction gratuite

Document 1

La figure n’est pas à l’échelle.

Document 2

Le coefficient de l’homothétie est :

\[ k=2 \]

On connaît les longueurs :

\(OA=4\text{ cm}\)
\(OB=5\text{ cm}\)
\(OC=6\text{ cm}\)

Question
Construire le triangle \(A'B'C'\), image du triangle \(ABC\) par l’homothétie de centre \(O\) et de coefficient \(2\).

Correction

Construire l’image du triangle \(ABC\)

Étape 1 — Construire \(A'\)

Le point \(A'\) appartient à la demi-droite \([OA)\).

On connaît la distance initiale : \( \textcolor{skyblue}{OA} = \textcolor{skyblue}{4\text{ cm}} \)

Le coefficient de l'homothétie est \( \textcolor{violet}{k= 2} \)

\[ \textcolor{limegreen}{OA'} = \textcolor{skyblue}{OA} \times \textcolor{violet}{k} \]

\[ \textcolor{limegreen}{OA'} = \textcolor{skyblue}{4} \times \textcolor{violet}{2} \]

\[ \textcolor{limegreen}{OA'} = \textcolor{limegreen}{8\text{ cm}} \]

On ouvre le compas à \(\textcolor{limegreen}{8\text{ cm}}\), puis on place sa pointe sèche sur le point \(\textcolor{gold}{O}\). On trace un arc de cercle de centre \(\textcolor{gold}{O}\) et de rayon \(\textcolor{limegreen}{8\text{ cm}}\).

L’arc coupe la demi-droite \([OA)\) en un point. Ce point est le point \(\textcolor{limegreen}{A'}\)

L’intersection de l’arc de cercle avec la demi-droite \([OA)\) est donc le point \(\textcolor{limegreen}{A'}\).

Étape 2 — Construire les points \(B'\) et \(C'\)

En procédant de la même manière pour les points \(B\) et \(C\), on obtient les points \(B'\) et \(C'\).

\[ \textcolor{orange}{OB'} = \textcolor{orange}{10\text{ cm}} \]

\[ \textcolor{crimson}{OC'} = \textcolor{crimson}{12\text{ cm}} \]

Étape 3 — Tracer le triangle image en reliant les points

Le triangle \(A'B'C'\) est l’image du triangle \(ABC\) par l’homothétie de centre \(O\) et de coefficient \(2\).

Exercice 2

Document 1

La figure n’est pas à l’échelle.

Document 2

Le coefficient de l’homothétie est :

\[ k=0{,}6 \]

On connaît les longueurs :

\(OK=10\text{ cm}\)
\(OL=12\text{ cm}\)
\(OM=10\text{ cm}\)
\(ON=6\text{ cm}\)

Question
Construire le quadrilatère \(K'L'M'N'\), image du quadrilatère \(KLMN\) par l’homothétie de centre \(O\) et de coefficient \(0{,}6\).

Correction

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Exercice 3

Document 1

La figure n’est pas à l’échelle.

Document 2

Le coefficient de l’homothétie est :

\[ k=-1{,}5 \]

On connaît les longueurs :

\(OD=5\text{ cm}\)
\(OE=6\text{ cm}\)
\(OF=4\text{ cm}\)

Question
Construire le triangle \(D'E'F'\), image du triangle \(DEF\) par l’homothétie de centre \(O\) et de coefficient \(-1{,}5\).

Correction

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Exercice 4

Document 1

La figure n’est pas à l’échelle.

Document 2

Le coefficient de l’homothétie est :

\[ k=-0{,}5 \]

On connaît les longueurs :

\(OR=8\text{ cm}\)
\(OS=10\text{ cm}\)
\(OT=8\text{ cm}\)
\(OU=3\text{ cm}\)

Question
Construire le quadrilatère \(R'S'T'U'\), image du quadrilatère \(RSTU\) par l’homothétie de centre \(O\) et de coefficient \(-0{,}5\).

Correction

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Exercice 5

Nous avons la figure suivante :

Question
Construire le centre \(O\) de l’homothétie qui transforme le triangle \(ABC\) en le triangle \(A'B'C'\). Justifier la construction.

Correction

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Exercice 6

Pour chacun des coefficients d’homothétie suivants, déterminer si la transformation correspond à un agrandissement ou à une réduction.

Coefficient	\( \displaystyle \frac{7}{9} \)	\( -2{,}4 \)	\( \displaystyle \frac{13}{8} \)	\( -0{,}35 \)
Agrandissement
Réduction

Question
Recopier et compléter le tableau en plaçant une croix dans la ligne appropriée pour chaque coefficient. Justifier chaque réponse.

Correction

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Exercice 7

Document 1

Document 2

La figure \(F_2\) est l’image de la figure \(F_1\) par une homothétie.

La figure \(F_3\) est ensuite l’image de la figure \(F_2\) par une autre homothétie.

Le point \(O\) est indiqué sur la figure.

Chaque carreau du quadrillage représente \(1\text{ cm}\).

Questions
1) Donner le centre et le coefficient de l’homothétie qui transforme la figure \(F_1\) en la figure \(F_2\).
2) Donner le centre et le coefficient de l’homothétie qui transforme la figure \(F_2\) en la figure \(F_3\). Justifier les réponses.

Correction

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Exercice 8

On considère une homothétie de centre \(O\).

Les constructions demandées seront réalisées à la règle et au compas.

1) Tracer un segment \([OP]\) tel que : \( OP=6\text{ cm} \)

Construire le point \(P'\), image du point \(P\) par l’homothétie de centre \(O\) et de coefficient \(2\).

2) Construire le point \(P''\), image du point \(P\) par l’homothétie de centre \(O\) et de coefficient \(0{,}5\).

3) Construire le point \(P'''\), image du point \(P\) par l’homothétie de centre \(O\) et de coefficient \(-1{,}5\).

Correction

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Exercice 9

1) Calculer le périmètre du pentagone \(R'S'T'U'V'\) : Le pentagone \(R'S'T'U'V'\) est l’image du pentagone \(RSTUV\) par une homothétie de coefficient \(-3\). Le périmètre du pentagone \(RSTUV\) est égal à \(24\text{ cm}\).

2) Calculer l’aire du parallélogramme \(M'N'P'Q'\) : Le parallélogramme \(M'N'P'Q'\) est l’image du parallélogramme \(MNPQ\) par une homothétie de coefficient \(0{,}4\). L’aire du parallélogramme \(MNPQ\) est égale à \(90\text{ dm}^2\).

Correction

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Exercice 10

Noémie a construit quatre images du triangle \(ABC\) par des homothéties de centre \(O\).

Les coefficients utilisés sont :

\[ -0{,}5 \;;\; 3 \;;\; -2 \;;\; 2 \]

1) Associer à chacune des figures \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) et \(F_4\) le coefficient d’homothétie correspondant.

2) L’aire du triangle \(ABC\) est égale à \(8\text{ cm}^2\). Calculer l’aire de chacune des quatre figures \(F_1\), \(F_2\), \(F_3\) et \(F_4\).

Correction

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Challenge 4

Document 1

Document 2

La figure \(F_2\) est l’image de la figure \(F_1\) par une homothétie.

La figure \(F_3\) est ensuite l’image de la figure \(F_2\) par une autre homothétie.

Chaque carreau du quadrillage représente \(1\text{ cm}\).

Correction

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Challenge 5

Lina a construit quatre images du triangle \(KLM\) par des homothéties de centre \(O\).

Les coefficients utilisés sont :

\[ 0{,}4 \;;\; 0{,}6 \;;\; -0{,}4 \;;\; -0{,}6 \]

La figure n’est pas à l’échelle.

Questions
1) Associer à chacune des figures \(G_1\), \(G_2\), \(G_3\) et \(G_4\) le coefficient d’homothétie correspondant.
2) L’aire du triangle \(KLM\) est égale à \(25\text{ cm}^2\). Calculer l’aire de chacune des figures \(G_1\), \(G_2\), \(G_3\) et \(G_4\).

Correction

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Conseil de professeur

Comment progresser réellement en mathématiques ?

Le but n’est pas seulement de trouver la bonne réponse. Pour progresser durablement, il faut chercher, comprendre puis refaire. Une correction est utile uniquement si elle t’aide à identifier précisément ce que tu n’avais pas compris.

Chercher seul

Analyser la figure, identifier les données utiles et essayer de résoudre l'exercice par écrit avant d’ouvrir la correction.

Comprendre la correction

Ne recopie pas mécaniquement. Vérifie pourquoi cette propriété est utilisée et repère précisément l’étape qui t’avait bloqué pour savoir ce qu'il faudra faire dans ce type de cas.

Refaire sans aide

Recommence l’exercice à l'écrit, sans consulter la correction, afin de vérifier que la méthode est réellement acquise. Penser savoir le faire et le faire par écrit sont deux choses différentes.

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